旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の1991年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -1991年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
球面の接平面に関する問題です。
(1)初手の発想に経験が必要です。x+y-k=z=0を含む平面は、a(x+y-k)+bz=0を書くことができます。この式がx+y-k=z=0で満足することはすぐに分かりますね。aとbが同時に0にならないことに注意すると、実質b/aが求めれば十分です。
平面と点との距離は、直線と点の距離と同様の式で求めることができますので、それを使ってb/aを求めましょう。
(2) 平面のなす角は、平面の法線ベクトルのなす角と等しくなるので、法線ベクトルを取り出して内積を調べましょう。
<筆者の回答>
第2問
放物線と直線の面積に関する問題です。
(1)いわゆる1/6公式の証明問題です。展開をしたうえで積分を愚直に計算しましょう。
(2)1/6公式を使って、両者の面積をガンガン計算していきましょう。解と係数の関係を使って計算を楽にするのも常套手段ですね。
<筆者の回答>
第3問
立体の体積を計算する問題です。
(1)空間のイメージが必要だと思います。高さがz=tに到達するのは、長方形の回転角がtに達してからになります。以降は扇形を描くことになります。
(2) (1)の面積をtで積分すればOKです。
<筆者の回答>
第4問
点列の問題です。
まずは点の移り方2条件から、fを表す行列Aを求めましょう。Aが求まれば、条件(ⅰ)(ⅱ)を使って、Pnのx座標xnの漸化式が求まるので、一般項まで求めてしまいましょう。
<筆者の回答>
