私立最難関の一角、慶應義塾大学の理工学部の問題を取り上げます。
今回は1995年です。
第1問
媒介変数表示された曲線のグラフと面積を考える問題です。
ア：x=0となるtの値をyに代入するだけです。
イ、ウ：f'(x)は、「tをxで微分したもの」×「yをtで微分したもの」＝「yをtで微分したもの」÷「xをtで微分したもの」で計算できるので、その結果を利用すればよいでしょう。
エ、オ：こちらも同様にf''(x)を計算してその符号を調べればOKです。
カ：これまでの結果からy=f(x)のグラフが書けるので、それを使って積分計算します、xをtに置換して積分する形になります。
＜筆者の解答＞
第2問
曲線の長さに関する問題です。
キ、ク：図を描けば公式に従って立式できます。
ケ：tを非積分関数に代入することで微分が完了します。単純に計算するともっと簡単な形になるのですが、ケの形にすることでコが解きやすくなります。
コ：ケを両辺積分します。その際、ケの形にしたおかげでu=e^(-x)での変数変換が思いつきやすくなっています。
サ：誘導通りにuをvに変数変換することで簡単な積分に書き換わります。
シ：コ、サの結果から容易に計算できます。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
問題文の状況から、1回の操作で、組の数は最大で2倍ずつ増えていくことが分かります。さらに各組1つに対して1枚を表に変えていくという設定なので、累積で表になる枚数は組の個数と一致します。
ス、ソ：最小手数は2倍ずつ増えていく状況を考えればよく、累積の枚数がnを超えた瞬間に終了です。
セ、タ：1回の操作ごとに両端のカードを選んで表にしていけば、最大手数になります。
＜筆者の解答＞
第4問
不等式の証明問題です。
数学的帰納法での証明、という発想は浮かびやすいと思います。
出来るだけ階乗が消えるように変形していき、途中2項定理を挟むと綺麗に証明できます。
＜筆者の解答＞
第5問
空間内の3直線と交点を持つ直線について考える問題です。
考える直線をLとして、Lがl1とA(1,-1,a)で交わり、l1とB(b,1,-1)で交わり、l1とC(-1,c,1)で交わると考えて議論を進めます。
このA,B,Cが一直線上に乗る条件からa,b,cが１つの文字で表現でき、そこからL上の点が2文字のパラメータを使ったベクトルの形で表現できます。あとは、そのz座標が0になる条件からX,Yがパラメータ表示できます。
＜筆者の解答＞
