このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
24回目の今回は1996年になります。
第1問
放物線と円の囲む面積を求める問題です。
(1)h,lの式を求めてRの座標を求め、sをtに変えてR0を求めるという、一本道です。
(2)こちらもKの式を求めてy=x^2と連立するという単調な作業です。この方程式の結果から、PでKと放物線は接して、交点は2点しかないことが分かります。
(3)P,R0,P'が同一直線上にある条件からtの値を確定させて、図を描くことで積分をします。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換を絡めた点の配置を考える問題です。
(1)O,P,Qが同一直線上にある条件からtanθがa,bの式で求まり、OQがsin2θの式で書けます。sin2θはtanθだけの式で書けるので、代入して終了です。
(2) Sの式は容易に求まるので、三角関数の合成に持ち込めばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
曲線の概形を考察する問題です。
(1)xとyをθで微分して増減を調べ、Cの概形を描きましょう。Cがx軸対称であることに注意して、置換積分で面積計算しましょう。
(2) F=x+yを直線と見なせば、Cとこの直線が第1象限で接するときFは最大になります。
なので、Cの接線の傾きが-1になるようなθを求めればOKです。
＜筆者の解答＞
第4問
微分方程式に関する問題です。
(1) dy/dx+y=1を解くとy=1+Ck*e^(-t)、dy/dx+y=0を解くとy=Dk*e^(-t)、とできます。Ck, Dkと、積分定数の部分を区間に依存する数列にしてしまうのがポイントです。
これとt=kT, (k+1/2)T, (k+1)Tでの連続性を考慮してCk, Dkを消去することで、関係式が求まります。
(2) (1)の結果を使うことでy(kT)の漸化式が求まるので、一般項を求めてあげましょう。
(3) (2)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
