このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
23回目の今回は1997年になります。
第1問
円と直線の接点の軌跡を考える問題です。
(1)先に接点の座標をr,tの式として求めてから軌跡を考えるとよいでしょう。
(2)全体をx回転してから、円柱部分の体積を引いてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
漸化式を解いて極限を調べる問題です。
(1)漸化式の形から、逆数を取ればよさそうです。xnが0にならないことを確かめた後に逆数を取りましょう。bが1か否かで場合分けが発生することに注意です。
(2)こちらもbの値による場合分けが発生することに注意しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
点の軌跡と面積を計算する問題です。
(1)P,Q,Mについては特に悩むところはないでしょう。Nについては、O,P,Qを通る円の方程式を求めればその中心がNになります。いずれにせよ、計算量が多めで少々厳しい問題です。
(2) (1)の結果を使ってs,tをaの式で表現し、aを消去すればよいでしょう。(3)以降との関連性が、正直良く分かりませんでした。
(3) (1)の結果で、Nのx,y座標をそれぞれaについて微分して増減を調べましょう。Nの軌跡は、実は傾いた放物線になります。
＜筆者の解答＞
第4問
関数の最大値の考察と確率を絡めた問題です。
(1) g(x)に対数を取ってから微分するとg'(x)が求まります。
(2)まずはMをa,bの式で表現します。aの偶奇による場合分けが発生し、特にaが奇数の時はMの候補が2つ出てきて、すぐには大小関係が確定できない形になります。
ただ、aの偶奇によらずMを(1)のg(x)で下から評価することができますので（c=beとすればよい）、それをつかってM>1/5が示せます。
(3) b=1の場合は(2)で調べてあるので、残りのb=2の場合を調べます。eの近似値を使った細かい評価が必要で大変です。
＜筆者の解答＞
