このシリーズでは、山梨大学医学部後期の数学の問題を解いていきます。
11回目の今回は2012年です。
第1問(1)
必要条件に関する問題です。
「pがqの必要条件」という言葉を言い換えると、「qが成立するには、pが成立していないといけない」となり、これはすなわち「qがpの中にすっぽり納まっている」ということになります。
この包含関係に注意して「pがqの必要条件」となるaの条件を調べて、それをひっくり返せばアとなります。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
軌跡の式を調べる問題です。
問題文の通りに、「(x,y)と(1,1)との距離=(x,y)とy=-x-2との距離」という条件式を変形していけばよいでしょう。この軌跡は、定義から分かる通り焦点が(1,1), 準線がy=-x-2の放物線となります。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
漸化式の問題です。
逆数を取れば、よくある２項間漸化式に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
無限級数の計算問題です。
見た目通りに区分求積法に持ち込みますが、kの範囲がn+1~2nとなっていて定型と異なっているので、j=k-nと引数を変換することで定型に変えてあげます。
＜筆者の解答＞
第1問(5)
積分の計算問題です。
ただただ面倒の一言で、各項を地道に積分して足し上げていくほかありません。
2倍角の公式を使ったり、t=cosxと置換したりして、出来る限り計算量を削減していきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
確率・期待値の問題ですが、はっきり言って本番では捨てるべき問題ですね。解けたとしても(2)までが限度でしょう。
残念ながら(3)は解けておらず、(1)も自信はあまりないですが、出来たところまで解説していきます。
(1)まずはx1,x2,x3あたりまでを具体的に調べて実験してみます。x3の時点で場合分けが多くて大変ですが、xnの値はd1=4, d2=d3=・・・=dn=1のときに最大となることが予測できます。本当はこれをきっちり論証していく必要があるのですが、それができていないので「自信がない」と述べています。
この予測が正しいありきで調べていくと、xnの最大値は3+(1/2)^(n-1)となるので、絶対に10以上になることはないですね。
(2)x1とx2の値を(1)で調査済みなので、そこからy1, y2の確率分布を求めて期待値を計算します。
(3)申し訳ありません。この問題は解けておりません。
xnの取りうる値、およびynの取りうる値を列挙して、それが実現する確率を無理やり文字式でおいてen -en+1の計算を試みましたが、0以上だとの証明がちゃんとできませんでした。
なんというか、xnの規則性が複雑すぎて全容を把握しにくいというのが、解けずじまいになってしまった原因ですね。
＜筆者の解答＞
第3問
方程式の整数解に関する問題です。
(1) (2)f(m,n)=kを平方完成すると、(2m-n)^2 +3n^2 =4kとなるので、nの値は0≦n^2≦4k/3に制限されてしまうので有限個です。同様の理由でmも有限個となるわけです。
このnについての不等式からnの値の候補を絞り込んでmを調べていきます。
(3) f(m,n)=2^rを考えると、少なくともmとnは両方偶数でないといけないので、m=2a, n=2bとするとf(a,b)=2^(r-2)となります。
ここから、X(2^r)の要素数とX(2^(r-2) )の要素数が一致していることが分かります。このロジックを繰り返せば、rが偶数の時はX(1)の要素数、rが奇数の時はX(2)の要素数と一致することが分かり、(1)(2)の結果が使えることになります。
＜筆者の解答＞
第4問
極限の条件を満たすように関数を見つけてくる問題で、全体的に発想力命な問題です。
(1) (i)を満たす関数としてまず浮かんでくるのは指数関数ですね。このときに(ii)を満たすには指数の肩の関数をより強いものに取り換えていけばよさそうです。
(2) 分母と分子にある関数の「強さ」を比較していきます。例えばfはgより強いといった感じです。
この問題を解くポイントは(ii)の1番目と3番目の式の比較です。この２つからh^4はf^3よりつよくf^4より弱いと分かるので、3/4<α<1を満たすαについて、hはf^αと同等の強さだと言えます。
さらに(ii)の残りの極限を使うとh=g×f^αとすれば、条件をすべて満たせます。実際このようにhの式をつくると、実はα=3/4でも成立しています。
ということで、hの例としてh=g×f^(3/4)が作れることになります。
＜筆者の解答＞
