東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
正四角錐の体積を考える問題です。
(1)内接球は、四角錐の体積と表面積を使って半径を求めることができます。
(2)体積をxの式で書いて増減を調べます。
＜筆者の解答＞
第2問
いわゆる「怠けた仕立て屋の分割」と呼ばれる、平面の分割数に関する問題です。
ピザを適当にn回切り刻んだ時に、最大何個の部分に分かれるか？という問題です。
(これの空間版が、2019年の東工大第4問です。）
(1)実際に図に描いて実験してみましょう。
(2) (1)から、P2(k)とP2(k+1)の関係性を把握しましょう
(3) (2)の漸化式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数の極値の問題です。非常に計算の長い難問です。
(1)やることは単純で、f'(x)=0の解がα,β、f(α)=0, f(β)=-32という条件を処理することになるのですが、実際にやってみると非常に面倒です。
解と係数の関係、f(x)÷f'(x)の計算を行うなど、少しでも計算量を減らしましょう。
(2) g(x)=f(x-c)となるので、f(x)-g(x)を計算しましょう。そもそも2曲線が交点を持つ条件も調べておかないといけません。
＜筆者の解答＞
第4問
数列の評価に関する問題です。
(1)前半は帰納法で、後半は直接計算で示せます。
(2)an+1 -1を直接計算して、(an -1)^2の形を作ります。
(3) (2)の不等式を何度も使って得られるanの式と、bnの大小関係を比較します。
＜筆者の解答＞
第5問
指数関数と三角関数の混じった関数に関する問題です。
(1)周期性から、2nπ<x<2(n+1)π の増減を調べれば十分です。
(2) f'(x)=a+g(x)となるので、a+g(x)が、前半は正、後半は負 となるようにaを決めます。(1)のグラフと睨めっこしましょう。
＜筆者の解答＞
