理系数学の最難関の一角、東京工業大学の2004年の問題を取り上げます。
第1問
分数関数の増減を考える問題です。
(1) f(x)を微分するだけです。
(2) g(x)を微分するとf(x)が登場するので、g'(x)の符号が変わるか変わらないかを(1)の結果を使って検討しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
積分値の極限を求める問題です。
(1) sinx, cosxは周期πごとに符号違いになり、f,gが偶関数なのでf(sinx), g(cosx)は周期πの周期関数になります。よって 0~mπという積分区間を (k-1)π~kπに分割して考えると見通しが良いです。
(2) 変数変換をしつつ(1)の結果を使うことを考えます。
(3) (2)の結果からはさみうちの定理を使えばよいですが、積分計算は変数変換を2回使うそこそこ骨の折れる計算になります。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
(1)Ｑかつ赤となる確率、Qかつ白となる確率を計算すれば基本問題です。
(2)どちらのコインを選ぶかによらず赤となる確率を計算すればよいです。
(3) 赤がm個入る確率amを(2)と同様に計算し、amの最大値を考えることになります。このような数列の最大値は、am/am-1と比を取って1との大小関係を考えるのが定石です。
＜筆者の解答＞
第4問
2つの球の共通部分の体積を考える問題です。
(1) 2つの球の中心を通る面で切ってできる2つの円の共通部分を回転させれば、考える立体ができますので、円の共通部分について考えるとよいです。とはいえ、計算はかなり複雑になります。
(2) (1)の結果をうまく変数変換して微分しましょう。
＜筆者の解答＞
