私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
16回目の今回は2007年です。
第1問(1)
確率の問題です（2022年から遡って解いてきて、初めて確率の問題に出くわした気がします）
1が出る事象がa回、2が出る事象がb回、3が出る事象がc回、それ以外が出る事象がd回起こるとしたとき、3回後のPの座標が(a+c, b+c)となるので、問題文の条件を満たすような(a,b,c,d)の組を考えてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
数列に関する問題です。
漸化式はΣが絡んでいるので、(n+1)^2×an+1 - n^2×anを調べてあげれば一般項が求まります。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
３次関数と直線が３点で交わる条件を考える問題です。
Gと直線y=mx+aとの交点は、xの３次方程式x^3+x^2+(1-m)x=aの実数解で求まります。
この実数解が３つになりえるようなmの条件を求めることになりますが、この方程式の実数解の個数は３次関数y=x^3+x^2+(1-m)xと直線y=aとの交点の個数とも言い換えられます。
そうなれば、y=x^3+x^2+(1-m)xが極値を持てばOKだと分かります。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
四面体の外接球の半径を求める問題です。
CDの中点をM, ABの中点をNとしたとき、外接球の中心Oは線分MN上にあります。これを使って三平方の定理でrを求めていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
外接円を次々に作っていく問題です。東大などでも類題が出題されている題材です。
Pn(an, rn), Cnの半径をrnとして、三平方の定理を使いながらrn, anの漸化式を求めていきます。anを消去してrnの漸化式として処理すると見通しが良くなります。
＜筆者の解答＞
第3問
ガウス記号を含んだ関数に関する問題です。ガウス記号が２つも含まれているため、なかなかの難問です。
(1) まずは実験しようという小問です。
まず、f(n)=5は、5≦n/[√n]<6と言い換えられ、もし[√n]=mと書けるなら、そうなるnの範囲はm^2~m^2+2mとなるので、n/[√n]=m+k/m(0≦k≦2m)と書けることになります。
5≦n/[√n]<6となりうるmの値を絞ったうえで、kを求めていきましょう。
(2) (1)の話を一般化して、f(n)=Nとなるnを調べていきます。
(1)と同じ要領で計算すると、いくつかnの値が歯抜けになっている箇所があるので、その部分について個別にf(n)を計算していきます。
こうして、f(n)がどのように推移するのかを可視化すると、答えが見えてきます。
＜筆者の解答＞
