東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
指数関数を使った分数関数のグラフ、逆関数、極限を考える問題です。
(1)は教科書レベルの問題です。f'(x)とf''(x)を計算しましょう。
(2) y=f(x)をx=の形に変形してあげましょう。
(3) (2)の結果を使って計算していきます。ネイピア数eの定義式を最後に使うことになります。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
(1)得点が1になる時は、1回目にk以下を引いて2回目に1を引く場合です。また、得点が10になるときは、1回目に10を引くか、k以下⇒10 と引く場合です。
(2)考え方は(1)と同じです。nがk以下になるか、kよりも大きいかで場合分けして考えましょう。
(3) (2)を使ってΣ計算を実行するのみです。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の傍接円を考える問題です。傍心は中々珍しい題材ですね。
(1)面積の比から、AQ: QBが簡単に分かります。
(2)も、面積の比からOQ: QPが分かるので、(1)の結果と合わせて求めることができます。
(3)でいよいよ傍接円の登場です。
傍心とは、「三角形の五心（重心、外心、内心、垂心、傍心）」のうちの１つで、最もマイナー（？）なものだとおもいます。三角形の１つの内角の2等分線と、三角形の残り２つの外角の2等分線の交点になります。定義上、１つの三角形につき、傍心は３つ存在することになります。この傍心を中心として、三角形の3辺に接する円のことを傍接円と呼びます。この問題の場合、Pがまさに傍心の１つとなっております。
この円の半径をrとおいてよく見てみると、△OAP, △OBP, △ABPの面積の値が、rで全て表現できてしまうことが分かります。
これにより、(2)のa,b,cの比が分かってしまうので、Pの表現が求まってしまうわけです。
＜筆者の解答＞
第4問
対数関数とルート関数で囲まれた面積を考える問題です。
(1)Ｐのx座標をpとすると、f(p)=g(p)とf'(p)=g'(p)が同時に成り立ちます。
(2)h(x) = f(x)- g(x) =0 の解が1個しかないことを証明することになります。
(3)定石通りの面積計算です。
＜筆者の解答＞
第5問
円の外側に何個円を外接できるかを考える問題です。少々意地悪な問題だと思いました。
(1)Qを原点中心の半径1の円、Rが中心がx軸上にある円としても一般性を失わないので、これをベースに図形的に考えるとよいでしょう。
(2)sinπ/3とsinθの大小比較をすることになります。
(3)は、Rが最大n個並べられるとすると、nθ≦2π<(n+1)θすなわち、2π/θ-1 <n≦2π/θを満たします。ここで、(2)の結果を放り込むと、3<n<6となります。
このままでは、nが4なのか5なのかを確定できません。
そうです。(2)を使えば瞬殺と思いきや、(2)の評価が実はガバガバで評価がうまくできないという、壮絶な罠だったわけです！ 謀ったな九大め・・・これが意地悪な問題と評した理由です。
というわけで、θをもっと厳しく評価しないといけないことが分かりましたので、次点の候補として2π/5とθの大小関係を比べてみましょう。
そのためには、cos2π/5ないしはsin2π/5の値を調べる必要があります。これにはテンプレの調べ方があって、α=π/5とおいて、cos2α+cos3α=0 になるという性質を使って調べる方法です。
結果として、2π/5<θ<π/2が示せましたので、3<n<5がいえて、無事n=4と確定しました。
＜筆者の解答＞
