ちょぴん先生の数学部屋

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平成の阪大理系後期数学 -2001年-

このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。

 

12回目の今回は2001年です。

 

第1問

 

場合の数に絡めた漸化式の問題です。

 

(1) (2n,0), (2n,2)から(2n+2,0), (2n+2,2)に到達する経路の個数を考えることで漸化式ができます。

 

(2) an+tbnを計算して、それが等比数列になるようにtを調整します。

 

(3) (2)の結果から2つの等比数列ができるので、それぞれの一般項を求めてあげればよいです。

 

(4) 絶対値の大きい方の等比数列で分母分子を割ってあげれば、極限が計算できます。

 

<筆者の解答>

 

第2問

 

楕円に関する証明問題です。(1)(2)は独立しています。

 

(1) Pの座標を(-acosθ, bsinθ)とおいてしまえば、l,mの式がθの式で求まり、Aの座標が求まります。PBについては、Bの座標を求めてもいいですが、lとmの距離と一緒なので、それを求めたほうが楽だと思います。

 

(2) F(√(a^2-b^2), 0)に注意してCの座標を調べることが先決です。Cが求まったら、あとはPCをひたすら計算していきます。

 

<筆者の解答>

 

第3問

 

点の軌跡と、面積を調べる問題です。

 

(1)Qの座標は図を描くことで計算することができ、y座標をtで微分した結果が0以上なことを示せばyが単調増加だと言えます。

 

(2)xをtで微分すると2sint+tcostとなりますが、これは直接方程式を解けません。全体をcostで括ってあげると、結局y=tantとy=t/2の交点t=αが肝要になることが分かります。dx/dtの符号からαがjπ/6<α<(j+1)π/6となるようなjを見つけてあげましょう。

 

(3) (2)からQの軌跡が描けるので、積分で面積を計算していきます。

 

<筆者の解答>