このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
8回目の今回は2015年です。
第1問
確率の問題です。
(1) 直接Pn(m)の式を求めてしまった方が早いと思います。
まず、m≧n+1のときはダブるカードが必ず出現するので確率0です。m≦nのときは、m種類の数字の選び方×各々の数字についてカードの選び方が2通り、が場合の数になるので、これでPn(m)が計算できます。
(2)(3)
En(m+1)/En(m)と1との大小関係を調べていきます。(3)については、出てきたmの最小値がちゃんと1≦m≦nを満たしているかの確認が必要です。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数の値域に関する問題です。
(1) f'(x)を微分すれば事足ります。
(2)aの値によって場合分けが発生します（極値があるか否か、極値が-1≦x≦1に入っているか否か、極値と端点の大小がどうなっているか）。その各々に対して-1≦x≦1でのf(x)の取りうる値を調べていきます。
(3) b<0の時のMは、(2)の結果でbを-bに置き換えたものになるので、bを|b|と置き換えてしまえばMの一般式が求まります。
まずはbを固定したときのMの取りうる値をグラフを書いて調べ、次いでbを動かして考えればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
パラメータ表示された図形に関する問題です。
(1) PH=PFがtに関する恒等式となるようにFの座標を決めていきます。tに関する恒等式ということは、tに特別な値を代入したときは当然成立してないといけないわけなので、そこからFの座標の必要条件が求まります。あとは、その座標の時に確かに恒等式になっているという十分性を確認します。
この(1)の結果から、Cの0≦t≦π/2の部分は、Fを焦点・x+y=0を準線とする放物線だと分かります。
(2) Cは原点の周りに90°回転すると重なるので、そこからCの概形が描け、PFの通過領域を図示できます。x≦0の部分ではPFがCからはみ出る部分があることに要注意です。
あとは、面積を積分計算で求めていくのですが結構大変な計算です。X=sintと置換するとうまくいくことに気付けるかが全てです。
(3) 同様にx≧0の部分とx≦0の部分に分けて積分で体積を計算していきますが、こちらもハードです。
＜筆者の解答＞
