私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2014年です。
第1問
(1) αが1の3乗根だと気づけると、a^nが3周期で変化することが分かります。よって、指数を3で割った余りで分類すれば良さそうだと分かります。
(2) (1)と方針は一緒で、指数を3で割った余りで分類して考えます。
(3) 2014 = 3 × 671 + 1となることが分かるので、(2)を利用しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3次方程式の解の個数を調べる問題です。
(1) f'(x) = 0を調べる基本問題です。
(2) 大きくa>0の場合と、a≦0 の場合に大別されます。
前者の場合は(1)の通りに極大値極小値があるので、それぞれの正負を考えます。
後者の場合はf(x)は単調増加なので、解は1つだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
立方体の面を塗り分ける方法を考える確率の問題です。
立方体の面に1~6の番号を振り、色にP,Q,Rと名前を付けると見通しが良いです。
(1) 1と6が対面、2と5が対面、3と4が対面だとすると、1,2,3の塗分け方さえ考えれば十分です。
(2) 同じ色の対面がk組できる確率pkを考えます。同じ色の面が増えれば増えるほど数えやすくなるので、k=3から順に考えていきます。
p3は(1)で既に考えており、少し考えると分かりますが、2つの対面が同じ色になる時、残り1つの対面も同じ色に必ずなります。よってp2 = 0です。
p1の検討は、同じ色になる対面と塗られる色を一旦固定して考えるとやりやすいでしょう。
最終的に求めるp0 は、1-p3-p2-p1で求まることになります。
(3) (2)の結果を使って期待値を計算するだけです。
＜筆者の解答＞
第4問
絶対値付きの積分で書かれた関数についての問題です。
(1)微分して増減を調べるだけの簡単な問題です。(2)以降の絶対値外しのヒントになります。
(2) (1)の結果からg(t)の正負が切り替わるポイントがt=log2だと分かったので、xとx+log2の間にlog2が入っているか否かによって場合分けして考えます。
(3) (2)で求めたf(x)の増減を各区間で調べてグラフを描きましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
放物線上の2点を結んだ直線が円の接線となる条件を考える問題です。
(1)A,Bの座標は簡単に分かるので、直線OBの式が容易に立ちます。この直線OBがC2に接する条件を考えればよいでしょう。
(2) この小問が肝となる問題です。
(s,t)におけるC2の接線の式を立てれば、αとβが、C1の式とこの接線の式を連立してできる2次方程式の2つの解だと分かります。ここからα+βとαβの式が分かるので、与式を計算してみましょう。
(3) (2)と同じ理由で、(α-γ)^2 - (αγ)^2 =3 が成り立ちます。よって、βとγが、uの2次方程式 (α-u)^2 - (αu)^2 =3 の２つの解だと分かります。
(4) (3)の結果を使って、(β-γ)^2 - (βγ)^2 =3となることが確認できればOKです。
＜筆者の解答＞
