私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2007年です。
第1問
数列の問題です。
(1) p2=0かつp4=0とすると、αβ=0となり矛盾します。
(2) この時、p2=0かつp4≠0となるので、p3=0となります。このときαβ=1, α+β=-1と求まるので、α,βは、x^2 +x +1 =0の解になります。
このとき、α^nとβ^nは3周期で変化するので、それぞれpnを計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換を題材にした問題です。
(1) R(a,b)とおいて、PQとPRの内積がtによらず０になることを利用しましょう。
(2)円周角の定理からQRが直径です。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値追記の関数の面積についての問題です。
(1) 両辺を微分して係数比較です。
(2)(3)ともに、絶対値の外れ方に注意して計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
抽象的に関数を利用して極限を求める問題です。
(1)関数を素直に微分して調べます。
(2)fの最大値をF, gの最大値をG, f+qの最大値をHとすると、必ずH≦F+Gとなります。さらに、x=1を代入すると0になるので、いずれの最大値も0以上となります。
(3) (1)と(2)の結果を使うと、はさみうちの定理に持ち込めます。
＜筆者の解答＞
第5問
2円の共通接線に関する問題です。
(1)(2)とりあえずy=ax+bが共通接線になる条件を作り、4本とも全て求めてしまうとよいでしょう。
(3) E, E'の中心はl, l'の角の二等分線上にあり、今回の場合はy軸になります。
(4) (3)を利用して求めます。
＜筆者の解答＞
