私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2015年です。
第1問
パラメータ表示された曲線の概形を考える問題です。
(1) f'(x)を求めて増減を調べます。
(2) xとyをそれぞれtで微分して増減を調べましょう。
(3) dy/dxで接線の傾きが求まるので、そこから接線のx切片y切片を求めてみましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
「ペル方程式」と呼ばれる整数方程式に関する問題です。
(1)左辺を展開すればu,vの式は簡単に求まるので、u^2 -2v^2を直接計算してみます。
(2)2文字あると考えにくいので1文字に統一したいという考えになります。
すると、x+y√2の不等式の逆数を取ればx-y√2の不等式ができるのでyを消去することができます。
(3) 全体を (3+2√2)^n-1で割ってあげれば、(2)に持ち込むことができます。
＜筆者の解答＞
第3問
２つの2次方程式の共通解についての問題です。
(1) f(x) = g(x)を解くことで共通解の候補が求まりますので、それぞれについてf(x)=0となるかどうかを調べましょう。
(2) (1)の結果は双曲線となり、その第1象限が(2)の答えです。
(3)放物線とlを図に描くことでSを計算します。
＜筆者の解答＞
第4問
どうすればカードの番号を確定できるかの考察が必要な確率の問題です。
(1) 「2」を引いたとき「上」と言われれば確定できます。
(2) K=1の時と違って必殺技は簡単に分からないので、引き方の樹形図を描いて、Kの候補を絞り込む様子を描いてみましょう。
(3) K=lと固定して考え、(2)と同じようにKの候補の絞られ方を考えます。このときl=1, Nの時だけが特別扱いとなることに注意です。
(4) (3)の結果から、極限を取るとネイピア数eが登場します。
＜筆者の解答＞
第5問
回転体の体積、表面積を求める問題です。
(1)問題文の定義から、Pの軌跡は楕円となります。教科書の定義を覚えていれば式を即答できるのですが、しっかり式変形で導出したほうがミスがないと思います。
(2) 公式通りに体積を計算できます。
(3) 与えられた公式を使って計算すればよいのですが、底面の存在を忘れがちなので要注意です。
＜筆者の解答＞
