私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2016年です。
第1問
2つの変数を持つ数列の問題です。
(1)am = f(m,1), bn = f(1,n)と改めて文字で置いてこれらの漸化式を作ると見通しが良いでしょう。bnの漸化式は4項間漸化式となって一見解きづらいですが、b1, b2,・・を調べれば規則性が見えてくるので、それを帰納法で証明することになります。
(2) (1)で求まった関係式を使って具体的に計算する問題です。答えが出た瞬間に「あ、正解だな」と分かります（笑）。ヒントはこの年の西暦。
(3) (1)を使うと、f(m,n) = 2^(m-1) ×(2n-1)となり、2の累乗×奇数の形になります。よって、m-1を、lが2で割り切れる回数、2n-1を、２で割りつくした後に残る奇数にしてしまえばよいわけです。
＜筆者の解答＞
第2問
正四角錐とその内接球の表面積を考える問題です。
(1)状況を正しく図に描くことが第一です。すると、正四角錐の体積と表面積を求めることができ、この２つから内接球半径が求まります。
(2) 内接球の体積を計算して、比を計算します。求まった式をxで微分すれば最大値が求まります。
(3) (2)の結果を、正四角錐の体積の式に代入するだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数を用いた関数列の問題です。
(1)fn(z)の漸化式を具体的に書き下して解いてしまいましょう。
(2) |α|<1のとき、α^nは0に収束します。
(3) 正攻法で解こうとするとかなり苦しくなるので、(1)で求めたfn(z)の式をよく眺めてみましょう。fn(z) - δ を計算することが思いつければ勝ちです。
＜筆者の解答＞
第4問
3次関数の接線についての問題です。
(1) x=tにおけるf(x)の接線の式を調べて、それが(p,q)を通ればよいわけです。
(2) (1)においてtの3次方程式が３つの実数解を持つ条件を調べます。微分して増減を調べましょう。
(3) (2)で求まった関係式を図に描くだけです。
＜筆者の解答＞
第5問
回転体の体積を求める問題です。
(1)これはAP=2を計算するだけなので簡単です。
(2) (1)から考えると、Fは円錐側面のうち1/4の部分になります。Fを平面z=sで切った時の、底面の半径を考えましょう。
(3) (2)においてFの式が求まったので、x=tで切った断面の式が求まります（t=0以外では双曲線、t=0で直線となります）。その断面をx軸の周りに回転した図形を考えると、基本的にドーナッツ型の同心円となります。
よって、断面とx軸との距離で「最も近い点」と「最も遠い点」を考える必要があります。tの値によって場合分けして調べていきましょう。
(4) (3)の式をtで積分しましょう。
＜筆者の解答＞
