理系数学の最難関の一角、東京工業大学の1999年の問題を取り上げます。
第1問
2つの数の大小関係を調べる問題です。
a,b,pの3つの文字が登場しているので、この3つのどれかで微分して調べれば良さそうですが、どの文字で微分するか？
pについては全て指数の肩に乗っているので、微分をしたところで形がほとんど変わらず、それどころか余計なlogがいっぱいくっついてしまい、かえって汚くなってしまいますので分が悪いです。なので、aかbで微分するのが得策でしょう。aとbは完全に対称なので、好きな方で微分すればよいです。
この方針で微分すると、pと1の大小関係によって場合分けが発生することが分かります。
＜筆者の解答＞
第2問
正n角錐の体積を最大化する問題です。
(1)底面の正n角形の面積は外接円を使うと計算でき、母線の条件から高さも求まります。最終的に基本的な3次関数の最大化に帰着します。
(2) (1)ができていればサービス問題です。sinx/x→1を使うタイプの極限です。
＜筆者の解答＞
第3問
二等辺三角形を2等分する線分についての問題です。
考える線分は、端点が「底辺a上にある場合」と、端点が「底辺a上にない場合」の大きく2パターンがあるので、それぞれについて考察します。比を文字で設定して考えるとよいでしょう。考察の過程でaの値に関する細かい場合分けが必要になります。
2パターンそれぞれの最小値が求まったら、両者を比較することになります。
＜筆者の解答＞
第4問
等式証明の問題です。
見た目は相当にゴツいですが、見かけほど難しくありません。
左辺に登場している積分とΣを完全に計算しきることはできないので、数学的帰納法の利用を考えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
複素平面上の点の限りなく近づく点を求める問題です。
(1) Pnを表す複素数をpnとして問題文を数式化すると、
pn - pn-1 = 2/3(cosπ/3 +isinπ/3) (pn-1 - pn-2) と書くことができます。複素数の掛け算は、このように回転と縮尺を同時に操作できるので便利です。
この漸化式を解いてpnを求め、極限を飛ばしてあげましょう。
(2) (1)と同様にQ∞を計算してあげればよいです。
＜筆者の解答＞
