旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の2008年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -2008年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
三角関数に関する計算問題です。
(1)(2)この式の形そのものが大ヒントです。anにsin1をかけると、次々に2倍角の式が現れます。
(3)若干発想が必要です。
示す式に指数関数だけが残っていて分子が√2となっているので、sin1とsinπ/4を比較すればよいのではという発想になります。sin2^n+1については、大雑把に1以下と評価することができます。
<筆者の回答>
第2問
放物線の法線に関する問題です。
(1) 問題文の定義通りに計算しましょう。p=0のときだけ例外扱いになります。
(2) (1)で求まった法線のうち、p=0のとき、つまり直線x=0は必ず(0,a)を通ります。よってaによらず条件を満たす法線は少なくとも1本はあることになります。
よって、x=0以外の法線が何本あるかを数えます。p≠0の場合の法線の式に(0,a)を代入するとpの2次方程式になりますので、実数解がいくつあるかを検討しましょう。
<筆者の回答>
第3問
ベクトルを絡めた確率の問題です。問題文は長いですが、図に描いてしまえば見かけ倒しです。
(1) 定義通りに、OB,OCの長さとなす角を調べましょう。
(2) (1)と同じ要領で、OA~OEのすべての内積の値を計算して表にまとめましょう。そのうち1がいくつあるかを数えればOKです。
(3) (2)の結果を使ってqiを計算すると、Pi=BまたはEのときqi=0となることが分かります。よって、q1×・・・×qnが0に「ならない」のは、一度もB,Eが出ないときです。この余事象が求める確率です。
<筆者の回答>
第4問
ニュートン法を背景にした、接線を次々に作っていく問題です。
(1) x=a1での接線を計算して、そのx切片を求めればよいでしょう。
(2) (1)と同様に考えればanの漸化式ができるので、数学的帰納法で証明しましょう。
(3) (2)の漸化式をbnの漸化式に直してあげれば証明できます。
(4) とりあえず条件を満たすnが1個でも求まればいいので、大雑把に評価します。
(3)の結果を繰り返し使うと、bn<(1/4)^(n-1)が求まるので、(1/4)^(n-1)<10^(-12)となるnを探せばOKです。常用対数を使って調べましょう。
この問題では接線を次から次へと作っていっていますが、この手法は「ニュートン法」と呼ばれる方法です。
このニュートン法は、方程式の解を数値計算（コンピュータを使って計算すること）で調べるアルゴリズムで、今回の場合は、x^2 -1 = 0の解を調べる作業をしています。
(2)で求めた、接線のx切片anの漸化式を使ってnを限りなく大きくしてあげると、anの値が、x^2 -1 = 0の解x=1に近づいていくという流れです。
x^2 -1 = 0だと解がx=1ときれいに手計算で求まってしまって余りありがたみが感じられませんが、例えば方程式x^2- 2 = 0としてあげると、この方法でx=√2の近似値が求まることになります。
<筆者の回答>
