理系数学の最難関の一角、東京工業大学の1996年の問題を取り上げます。
第1問
不定方程式の問題です。
(1) いずれも典型問題です。
n=2の場合は、積の形=整数定数にして解く問題であり、n=3の場合は、あえてx1≦x2≦x3と大小関係をつけてあげると、x1x2≦3となってx1,x2の候補を絞ることができます。最後に勝手に設定した大小関係を外すことを忘れずに。
(2) 1通りしか解がないとき、x1=x2=・・・・=xnの場合に限ります。よって、この値をa(≧2)として、na=a^nを満たすaとnを考えることになります。
微分などを駆使すれば、a≧3のときはa^n >naとなることが分かるので、a=2のときだけ個別に考えます。
(3) 解の存在条件は、何でもいいので解を１つ構成できれば良いわけです。すると、(x1,x2,・・・,xn-2, xn-1,xn) = (1,・・・,1,2,n)が見つかります。
解の個数の有限性は、x1≦x2≦・・・≦xnと大小関係をつけて考えればよく、このとき、x1x2・・・xn-1 ≦ n となるので、(x1,x2,・・・,xn-1)の組み合わせは有限です。この組み合わせが1つ決まればxnが一意に決まります。
＜筆者の解答＞
第2問
楕円が不変になる1次変換を求める問題です。
(1) 点(acosΦ, bsinΦ)がAによって(X,Y)に移るとして、(X,Y)の軌跡を求めてそれがCと一致する条件を考えるのですが、解くべき方程式が非常に複雑です。
ここは、少々邪道ではありますが、p=cosθとなっていることを使って都合のいいqとps+qrを先に決め打ちしてs,rを求め、こうして求まったp,q,r,sが連立方程式を全部満たしていることを事後的に確認する、という解き方をしました。
(2) A^2を計算するとA^nの形が予想できるので、帰納法でそれを証明します。
＜筆者の解答＞
第3問
9次方程式の決定問題です。
極値の条件からf'(1)=0, f(1)=1が求まるのはよいでしょう。
面積の条件は、上に膨らんだ部分の面積と下に膨らんだ面積が等しいので、通して積分すると差し引き0になります。よってf(x)を 0,α,βのうち最小のもの~0,α,βのうち最大のものの範囲で積分すると０になります。
よって、(1)(2)それぞれの場合について積分=0の条件を処理すれば3未知数に対して3つ方程式が立つので連立して解くことができます。
(1)の方は処理が簡単ですが、(2)の方は次数が高くなり処理が面倒になります。
＜筆者の解答＞
第4問
微分方程式の問題です。
(1) 条件(ハ)を使ってf(x)の微分方程式を立てて解き、条件(イ)(ロ)を使って積分定数を確定させます。そのようにしてf(x)そのものを求めてしまえば、問題文で要求されている中身の証明は容易です。
(2) F(t) = [ f(t) ]^2 / f'(t) をそのまま使ってtで微分して増減を調べます。導関数の正負が切り替わるか否かによって、aの値の場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
