このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
24回目の今回は1996年になります。
第1問
極限の計算問題です。
(1)お馴染みの左辺ー右辺を微分して増減を調べるタイプの問題です。
(2) (1)の式を利用してはさみうちに持ち込みます。
(3)積分を部分積分を使って計算すると、(2)の形に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第2問
三角比の問題です。
(1)平面の成す角は、平面の法線ベクトルの成す角に等しくなります。
(2) 考える三角形は、A(1/a,0,0), B(0,1/a,0), C(0,0,1/b)とした時の△ABCであり、AB>CA=CBなので∠Cが最大の内角になります。あとは、ベクトルの内積を利用して角度の条件を決めていきましょう。
(3)実質b/aの方程式になりますが、微分をするまでもなく最小値が分かってしまいます。
＜筆者の解答＞
第3問
漸化式に関する問題です。(2)と(3)は独立しています。
(1) 図に描いて問題文の状況を把握すると、xk+1 = f(xn)となっていることがわかります。
(2) (1)の両辺を-√2にして、無理やりxn-√2を括り出してみましょう。それをベースに不等式を作って、はさみうちに持ち込みます。
(3) 問題文の状況から、g(t)の微分方程式を作って解いていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
多項式に関する証明問題です。(1)と(2)以降は独立しています。
(1)連続するn個の整数の積がn!の倍数になる、という有名な事実の証明です。階乗の形を作り、無理やりn!を出してあげると、コンビネーションの形を作ることができます。
(2)実際にf(x)=x^n + ax^(n-1)+・・・+bx+cなどとしてf1(x)のn-1次の項を計算してみましょう。f2(x)も同様です。
(3) f(k)が全部整数でaの倍数なら、f(k+1)-f(k)も全部整数でaの倍数となります。ここで(2)の議論が使えそうだと分かり、同じ議論を使うと、f1(k), f2(k), ・・・,fn(k)のすべてが整数でaの倍数だと分かります。
ここでfn(x)は定数で、(2)の結果を繰り返し使えばそれがn!だと分かります。
この(2)の誘導が個人的にいいなぁと思いました。
＜筆者の解答＞
