このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
23回目の今回は1997年になります。
第1問
放物線に絡んだ長方形の周長について考える問題です。
(1) 放物線と直線の式を連立した方程式が2個の実数解を持てばよいわけです。
(2) (1)の結果を使うとL(k)の式が求められるので、微分を使って増減を調べましょう。
極値を持つか持たないかによる場合分けと、２つの下限候補の大小関係の場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第2問
線分の交点の個数を数える問題です。
(1) 3本の直線、P0Qk, P1Ql, P2Qmを考えて、それぞれの交点が一致するかどうかを調べます。k,l,mが整数でcが無理数なので、交点が一致することがあり得ないことが分かります。
(2) Qn-1まである状態に、Qnを追加したときに交点がいくつ増えるかを考えます。小さめのnで実際に図を描いてみないと分かりにくいと思います。
(3) a1を調べた上で、(2)の漸化式を解けばOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
方程式の実数解の個数を調べる問題です。
f(x)を微分して増減を調べると、単調増加になる場合と極値を持つ場合に分かれるので、aの値で場合分けして調べます。
別解としては、f(x)=0を変形すると、x≠0の場合にa=F(x)の形に出来るのでy=F(x)のグラフとy=aとの交点を数える方法があります。この場合、aによらずf(0)=0となることに注意しましょう。
＜筆者の解答＞
別解
第4問
いわゆるニュートン法を題材にした極限の問題です。
問題文のようなakの決め方は「ニュートン法」と呼ばれていて、方程式の解の近似値を求めるのに利用されたりします。
(1)問題文に従ってak+1とakの関係式を求めていきます。
(2)図を描くと、Akは直角三角形、Bkはy=px^pのak+1≦x≦akの部分の面積からAkを引いたものになることが分かります。
なのでAkの方から計算すると見通しがよくなり、いずれも無限等比級数の形になります。
pが残ったままで、最終結果は結構ゴチャゴチャします。
＜筆者の解答＞
