このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
22回目の今回は1998年になります。
第1問
楕円上の点と直線との距離を考える問題です。
Pは(2cosθ, sinθ)とパラメータ表示できるので、直線との距離をθの式で表現すればお終いです。
＜筆者の解答＞
第2問
特殊な漸化式から一般項を求める問題です。
流石に漸化式から直接一般項を求めることは出来なさそうなので、nに数を入れて実験して一般項を推測してみましょう。今回はn=4くらいまで入れてみないと推測がしにくいかもしれません。
推測が出来たら、帰納法でその推測が正しい事を証明します。その証明過程で2項定理の形が登場することに気付けたかがキーポイントです。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線の２つの接線の成す角に関する問題です。
(1)これは典型問題でしょう。Rのx座標がPとQの中間にあることは、よく知られた事実です。
(2)ベクトルの内積を利用してtanθ^2の式をa,bを使って表現することが第1です。そこに、Rの座標の情報を代入していきます。(tan2θ)^2は、素直にtanθの2倍角を利用すればよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
立方体の回転による水面の変化を調べる問題です。
紙面方向に直線OAが来るように図を描くと、事実上インクを横から見たときの図形の形状だけに注目すればよくなります。その図形の面積が常に1/4になることに注意し、立方体をθだけ傾けたときに糸がインクに漬かる長さg(θ,a)を考えます。
θを動かしたときのg(θ,a)の最大値こそがf(a)となります。θの値で場合分けしてg(θ,a)の式を調べていきましょう。
なお、小問では1/4<a≦1/2しか登場しないので、最初からaはこの範囲のみ考えればOKです。
＜筆者の解答＞
