私立最難関の一角、慶應義塾大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2015年の問題です。
第1問
慶応にしては珍しい、小問集合でない第1問ですね。cosxを使った2次関数に関する問題です。
(1) f(x)はcosxの2次関数で書けるので平方完成を行います。このとき、軸の位置が絶対値1以内か1以上かで場合分けが発生します。
(2) x=tでf(x)がx軸に接するとき、f(t)=0とf'(t) =0が同時に成立します。式がより簡単なf'(t)=0の解から攻めるとよいでしょう。
(3)f(x)のグラフを描いて、愚直に積分計算です。
＜筆者の解答＞
第2問
絶対値付きの方程式を解く問題です。問題文の通り、2通りの解釈ができる式ので、解くときに中カッコを使うなど、混乱しないように注意して解きましょう。
(1) xとaの大小で場合分けして絶対値を外せばよいでしょう。
(2)この解釈の場合、x-a = 絶対値の式 となっているので、x≧aが必ず成り立ちます。これに注意して絶対値を外していきましょう。すると、x=aは必ず解になっており、x≧aを気にしなければ、x=0, 2/aも解になります。よって、解が1つになる条件は0と2/aがx<aとなるようなaの範囲を、解が3つになる条件は、0と2/aがx>aとなるaの範囲を求めればよいことが分かります。
(3) (2)の結果から、a≠0であれば高々解の個数は3個（つまり有限個）です。なので、答えはa≠0だろうと予想できます。あとは、a=0の時に解が無限個になってしまうことを示しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
閉区間を規則に従って次々とちぎっていく問題です。
(1) rnの漸化式を作ると、rn+1 = (θnの式)×rn という感じに等比数列もどきになります。あとはθnの範囲に注意して、公比の範囲がどうなるかを調べればいいですね。
(2)kn, snの漸化式を立てるところから始めます。knは簡単に一般項が求まりますし、snについては、rn同様に等比数列もどきになります。漸化式を使って番号を順番に下げていくことでsnの一般項が求まります。
(3)実験すると分かりますが、f(x)の形は、残った閉区間では傾きanの斜めの直線、削られた区間では横一直線というグラフになります。あとは、斜め線の長さと横線の長さを注意して求めていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
立方体を題材にした空間図形の問題です。
まずP3とP4の座標を求めることが先決です。辺の長さの情報、ベクトルの直交性を使うと解くことができます。この2つの座標が分かれば、残りのP2, P5, P6, P7は、立方体の性質から全てP1, P3, P4の座標の足し算の組み合わせで計算することができます。(チ)までの内容はこんな感じです。
点Qkは、点Pkのz座標を0に書き換えたものなので、具体的にQkを全て1枚のグラフに描いてしまいましょう。すると6角形が出来上がり、2つの合同な三角形と平行四辺形に分解できるので、それぞれの面積を求めていきましょう。ここまでが(テ)です。
最後にz軸と交わる点については、どの面と交点を持つかを知る必要があります。しかし、これは、前に描いていたQkのプロット図から判断することができます。原点0を取り囲んでいる四角形の4頂点に対応するPkが、z軸の通過する面ですね。
あとは、ベクトルの成分表示を使えば、交点が求まることになります。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)は基本問題です。n+1回目の時点で残っている赤の個数に注目すればOKです。
(2) (二)は、とりあえずn=4, k=2の時で実験してね、という出題意図です。ここでの結果から、色の個数さえあっていれば、確率は引く順番に依存しないことに気が付きます。
この事実を使えば、qn (k)の計算は、「前半k回は赤を引き、後半のn-k回は白を引く」確率を計算して、それにk個の赤とn-k個の白の並べ方の総数をかければ求まることが分かります。
(3) pn(k)qn(k)のΣを計算するだけです。
(4)純粋な計算問題ですが、工夫が必要です。Snを計算すると、指数関数の肩に(k+2)/(n+3)というk/nに近い形ができるので、何とか区分求積法を使える形に持ち込みたいですね。
そこで、l=k+2とm=n+3と文字を変換して、Snを無理やりmとlの式に書き換えてあげると、直接区分求積法が使える形にできます。
＜筆者の解答＞
