旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の1995年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -1995年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
三角関数の方程式を解く問題です。
方程式の左辺をtanθだけの式で書ければ瞬殺できます。そのためにはcosθ^2をできるだけ作れるように変形すればよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
行列を使った点列に関する問題です。
(1) P(√2cosθ, √2sinθ)とおいて、問題文の条件を処理してθを求めましょう。
(2)数学的帰納法で証明すればよいでしょう。
(3) (1)と(2)がヒントになっていることに気付けたでしょうか？
(1)の答えの一つが(1,-1)で、(2)では(1,1)について考察しました。しかるに、(2,0)=(1,-1)+(1,1)となっています。
行列には「線形性」という性質があり、式で書くと f(ax+by)=af(x)+bf(y) (a,b：定数、x,y：ベクトル）となります。この性質から、
f(2,0) =f(1,-1)+f(1,1)となりますので、(1)の答えと(2)の結果をそのまま足してあげれば(3)の答えになります。
(2)と同じようにP1,P2・・と調べても規則性が中々見えてこないと踏んだが故の発想です。
<筆者の回答>
第3問
2つの円に関する問題です。
(1)中心間距離が半径の差よりも小さければ、円が内部に含まれることを言えます。
(2) 図を描いて、直角三角形を使った図形的な処理をしましょう。
(3) (2)の結果を使うとd=√2となるので、d=√2となる瞬間があるようなRの条件を求めに行きます。
P(1+RcosΦ、2+RsinΦ)とおいて、OP=√2となるΦが存在できるようにRを決めてあげればOKです。
<筆者の回答>
第4問
3次関数と直線で囲まれる面積に関する問題です。
両者の交点を求めて積分を計算、微分して増減を調べるという、至って標準的な問題です。
<筆者の回答>
