旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1995年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1995年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧下さい。
第2問
一般項が2次式の数列を決定する問題です。
条件(イ)は、4+x2 =2x1 で処理できます。するとa,cの式ができますがa,cが自然数という縛りから、この時点でa,cが確定してしまいます。
条件(ロ)については、式を変形すると(xn - xn+1)^2 ≧4 となるので、xnとxn+1の差の最小値が2になるようなbを決めていきます。
<筆者の回答>
第3問
円の接線と放物線で囲まれる面積を考察する問題です。
まずは当然ながら円と放物線の交点を調べに行くのですが、半径の範囲がうまく設定されており、交点がないことが分かります。もし交点があったらかなりややこしい問題になっていたので助かった・・という感じです。
次に円の接線を考えるのですが、これはy=mx+kと式で置くと見通しが良いです。接線をmの式で求めた後は、典型通りに面積を計算していき最小値を求めるのですが、rの値による場合分けが発生します。
<筆者の回答>
第4問
楕円の1次変換に関する問題です。これが文系向けかよ？というぐらいには難易度が高いです。
(1)まずは、Cの式を求めてみましょう。楕円上の点(acosθ, bsinθ)をfによって(X,Y)に移したときのX,Yの関係式を求めればよいでしょう。
このとき、x=tを代入してできるyの方程式が２つの実数解を持つことを証明します。aがどんな値であっても判別式>0が言えればOKです。
(2) (1)の結果を使うとA1, A2の座標が具体的に求まるので、B1,B2のx座標をそれぞれs,uとしたときに、Cの式を満足するs,uがtとは別にとれることをしましましょう。s,uはtの式で書けるのですが、この時点だと、「s,uがtとは異なる」は言いきれていないので、s=t, u=tとしたときに矛盾が起こることを示します（具体的にはt^2=b^2となって問題の前提条件に反します）。
ここまで出来れば、A1A2, B1B2の計算は容易なので、比を求めてしまいましょう。
<筆者の回答>
第5問
理系第5問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧下さい。
