旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の1995年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -1995年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
球の接平面に関する問題です。
(1) OQの長さを適当に決めてcos∠POQを計算してあげれば内積が計算できます。一見、OQの長さによって変わってしまいそうで怖くなりますが、計算すると内積が一定値になることが分かります。
(2) (1)の結果を使うと、Rが2つの接平面の両方にあるとき、OP1・OR=5, OP2・OR=5の両方が成立します。これらを使えばRの座標が1つの文字で表現できるので、あとはORを最小化しましょう。
<筆者の回答>
第2問
絶対値付きの関数のグラフを描く問題です。
当然ながら絶対値を外すために、絶対値の中身の符号を調べ、それに応じて関数の形を計算していきます。関数の形に応じて微分して増減を調べることになります。
<筆者の回答>
第3問
積分値を使った4次式の決定問題です。
f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +dとおいて、与えられた４つの積分の式をひたすらに計算し、連立してa,b,c,dを求めるという1本道のような問題です。積分区間が-1~1という対称的な形をしているので、奇関数の積分は0に、偶関数の積分は2倍に、といった工夫をすると労力を減らせます。
<筆者の回答>
第4問
放物線の2本の接線に関する問題です。
(1) 2本の接線の式を計算して、連立しましょう。
(2) PAベクトル、PBベクトルを計算すれば、内積の条件として処理できます。式を簡単にする工程で発想がいるかもしれません。
(3) (1)(2)の結果を使ってa,bを消去してx,yの関係式を求めましょう。Pのx座標、y座標の範囲も確認しておきましょう。
<筆者の回答>
