東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1995年の問題を取り上げます。
第1問
行列の証明問題です。
A^2は、a,b,c,dを使った表記と、θを使った表記の2通りで書けます。両者が完全に一致するので、成分を比較して検討しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の増減と面積を求める問題です。非常に易しい問題なので、確実に解き切りたいところです。
(1)もはや教科書レベルの問題です。f'(x)を計算して正負を調べましょう。
(2)図に描いてしまえば易しい積分計算となります。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題と確率の融合問題です。
(1)logが1以上2未満になるので、m/nは10以上100未満だと分かります。そのようなm,nを列挙しましょう。
(2)[logm/n]=N(整数)と置くと、N≦logm/n＜N+1が言えますので、これを使って候補を絞り込んでいきましょう。絞り込みはNが一番しやすいです。
＜筆者の解答＞
第4問
平行四辺形を回転させたときにできる立体の体積を求める問題です。
(1)体積の問題は、どんな時も方針は一緒です。回転軸に垂直な平面で切って断面積を積分する、です。問題文の通りに、x=tとKの断面を考えればよいのですが、先に平行四辺形をx=tで切ってから回転させることを考えましょう。tの値によって場合分けが発生することに注意です。
(2) (1)の結果を積分しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
積分を使った数列の問題です。
(1)部分積分を使って関係式を求めましょう。
(2) (1)の関係式を順に使っていくだけです。
(3) f(x)=ax^2 +bx+cとして、(2)の結果も利用しつつa,b,cを確定させます。
＜筆者の解答＞
第6問
(筆者注： (1)のtan2uの分子は 誤 1 正2)
無限級数の値を求める問題です。
(1)は (2)のヒントになっています。加法定理を使ってtanuだけの式にして整理しましょう。
(2) (1)の結果を使うと、tanθ/2^nを引き算の形に分解できるので、途中が次々相殺されるタイプのΣ計算にできます。
＜筆者の解答＞
