東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1994年の問題を取り上げます。
第1問
3次方程式の解に関する問題です。
この3次関数の極値の位置は、意外ときれいに求まるので、その位置によって場合分けして考えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
積分値の評価の問題です。
(1) tの値によって絶対値の外れ方が変わるので、場合分けします。
(2)2項定理を使って展開して計算します。
(3) (1)の結果を利用しますが、このとき、（積分→絶対値)≦(絶対値→積分）という関係式を使います。
＜筆者の解答＞
第3問
四面体の法線ベクトルを「面積積分」する問題です。
(1)平面の式は簡単に求まりますし、平面と点との距離も、直線と点との距離と同様に求まります。
(2)ベクトルを使った三角形の面積公式を適用しましょう。
(3)各面の面積と法線ベクトルを求めましょう。
(3)の結果が０になるのですが、ここで計算した、法線ベクトル×面積の和のことを、「法線ベクトルの面積積分」と呼びます。面積積分が０になる事実は、閉じた曲面であればどんな図形であろうと成立することが知られています。これは「ガウスの定理」と呼ばれるもので、大学1年で電磁気学を学ぶ時の基礎となる定理となります。
＜筆者の解答＞
第4問
確率を使って、特定のΣ計算を計算する問題です。
(1) 優勝者が決まるためには、最低N試合しないといけないので、X=N, N-1のときだけ考えればOKです。
(2)N+j-1試合の間にN-1勝して、N+j試合目に、そのチームが勝てばよいわけです。
(3)このゲームは、どんなに長引いても2N-1試合目で決着するので、ΣP(X=N+j) =1となります。この事実を利用しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式の問題です。
(1)問題文に従って、Pを30°回転させます。
(2) (1)の結果を使えば、微分方程式を構築できます。
(3) (2)の微分方程式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
第6問
チェビシェフ多項式の漸化式、それを使った5次方程式の問題です。
問題文のPn(x)のことを、チェビシェフ多項式と呼びます。
(1)加法定理を使って漸化式を作ります。
(2) (1)を使って順にP5(x)を求めます。
(3) まずは、x=cosθの形の解を求めてみましょう。この形の解が5個求まりますが、5次方程式の解は高々5個なので、これですべてとなることが分かります。
＜筆者の解答＞
