私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2011年です。
第1問
放物線の法線の本数についての問題です。
(1) これはさすがに教科書レベルですね。。
(2) (1)の式に(1, 2)を代入するとaの3次方程式ができるので、それを解きましょう。
(3) 同様にに(t, t+1/2)を代入してaの3次方程式ができるので、その実数解が2つになる条件を調べます。tが複数の項に渡って入っているので、t= (aの関数）の形にして、aの関数のグラフを考えると見通しが良いです。
＜筆者の解答＞
第2問
円が円の内部を転がる時の定点の軌跡を考える問題です。
(1) Dの中心が(1/2cost0, 1/2sint0)と書けるので、その時のDが(1/4, √3/4)を通るという条件からt0を求めます。
(2)t=t0のときのCとDの接点をQ', PがC上の第1象限にあるときの点をP'とすると、この長さについてPQ=P'Q' となっています。
(3)時刻tのときのCとDの接点をQとすると、この長さについてPQ=P'Qが成立します。このとき、t0からtがどれだけ動けば、Dが何度回転するかを考えてPの座標をtで表現しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
対数の積分評価についての問題です。
(1) f'(x), f''(x)の両方を調べます。
(2) (1)のグラフにおいてe^(k-1/n)≦x≦e^(k/n)がどのエリアにあたるかを考えてMkとmkを調べましょう。
すると、An, Bnは等比数列の和で計算できます。
(3) n(e^(1/n) -1) の極限が要求されます。これを解くには、「微分の定義」を思い出しましょう。
(4) (2)のΣの中身を、長方形の面積と解釈することができれば、図形的に解くことができます。
(4)の結果にはさみうちの定理を適用すれば、中辺の積分が1/2と求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
楕円の法線に関する問題です。
Eの法線の式を計算してQの座標を求めるのが第1歩ですが、その後は角度について訊かれているので、内積を考えるとよいでしょう。
そのときに、s=acosθ、t=bsinθというパラメータ表示を使うと見通しが良いでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
四面体の面のなす角について考察する問題です。(4)が難問です。
(2)CPとaが直交し、CPがbと直交することからx,yが求まります。
(3) (2)で求まったOPの式について、a,bの係数の正負、係数の和と1との大小比較を行って候補を絞っていきます。
(4)「なす角」の定義通りに、ABと垂直な平面αを考え、平面Hとαの交線について考察することになります。(3)がヒントになります。が、空間認識能力が必要で難しい問題です。
＜筆者の解答＞
