東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の1992年の問題を取り上げます。
第1問
ベクトルの計算と、長さの比を考える図形問題です。
(1)与えられたベクトルの式をひたすら計算します。
(2) (1)の結果からすぐに分かります。
(3) EFベクトルをa,b,c,dで表現して考えればよいです。
(4) (3)までで求まった比の関係を図に落として考えます。
＜筆者の解答＞
第2問
点列の問題です。
(1)接線の式から、漸化式が求まります。
(2) (1)の漸化式を解きます。
(3) xnの極限を調べます。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式に関する問題です。
(1)法線の式を作ることで、微分方程式が求まります。
(2) (1)の式を解くと、cと1の大小によって楕円か双曲線かに形状が分かれることが分かります。
(3) c<1は楕円の場合なので、体積は容易に計算できます。
＜筆者の解答＞
第4問
立方体を平面で切った断面についての問題です。
(1)断面の頂点を考えると、いくつかの辺について平行の関係があるので、長さの関係が自ずと決まってきます。
(2) s(t)の増減を調べましょう。
(3) Aを始点にして、全ての点をAB, AD, AEベクトルで表現してLMとDF, XMとDFが垂直になることを示します。
(4) 余弦定理を使って求めます。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)は、問題文の通りに確率を計算すればよいでしょう。このとき、xが+2になる確率をp, xとyが両方+1となる確率をq, yが+2になる確率をrとすると、(2)以降の見通しが良くなります。
(2) 樹形図を描けば、確率が求まります。
(3) (2)の結果の大小関係を調べます。確率が分数の形にかけているので、比を取るとスッキリします。
＜筆者の解答＞
