東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1992年の問題を取り上げます。
第1問
放物線に関わる線分の長さの比を考える問題です。
えらく抽象的で問題文が長く考えにくいですが、試しに図を描いてみると、三角形の相似の存在に気付き、結局APとOQの長さの比が一定であることを示せばよいことが分かります。
あとは、放物線の式を文字で置いてAP, OQの長さを計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3つの直線の交わりを考える問題です。
m上の点をQとしたときに、x軸を通るような直線PQがnとなります。よって、PQの式を計算して、それがx軸を通る条件を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
不等式評価の問題です。
左辺の形を見た瞬間に、y=1/x^3のグラフの面積を使って大小評価する発想が浮かんでほしいところです。
とはいえ、短冊の取り方をうまく工夫しないと1/4がでてきません。。。ここが少し難しいポイントです。
＜筆者の解答＞
第4問
微分方程式の問題です。
容器に入った水の体積をV, 水面の面積をSとして微分方程式を組み立てていきます。
vの式の形から、H=√(2+h)と変換すると見通しが良いでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
板の張り方を考える確率の問題です。
(1)板の張り方の総数は、(2n)^2個から4個選ぶ方法、そのうち題意を満たす張り方は、4枚のうちk枚が中心の4マスを埋める方法となります。
確率が求まったら、期待値を公式通り計算しますが、計算はごり押しするしかなく中々大変です。しかし、計算結果はかなりきれいな形になります。
(2) (1)ができていれば簡単です。
＜筆者の解答＞
