東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1994年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
まずは、与式を実際に計算して、nで因数分解してみましょう。すると、与式÷nが整数となる条件が、とある式が6の倍数となるか否かだと分かるので、nを6で割った余りで分類して考えていきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数における反射を考える問題です。
(1)状況を図に描いて、tanの加法定理を使って処理していきましょう。
(2) (1)ができていれば、簡単な積分問題です。
＜筆者の解答＞
第3問
とある平面上を動く点に関する問題です。
(1)OPベクトルの式が、tによらないベクトルの和で書けていれば、平面上にあると言えます。
(2) 距離を公式を使って求めて、θによる増減を考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
極限の計算問題です。
(1)は、微分を使って増減を調べて示します。
(2) (1)を踏まえて図に起こしてみましょう。はさみうちの定理が使えます。
(3) (2)を使えば、qnの極限は図形的に明らかに分かり、npnは、qnの式を使って求まります。
(4)Sn , Tnともに簡単に求まるので、(2), (3)の結果を使いましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率と期待値を求める問題です。
(1)袋の中の個数が増えるのは黒を引いたときに限り、黒を引く度に1個ずつ増えます。
よって、k回目に2個目の黒を引く確率を考えればよいです。
(2) Σkr^kの計算が要求されます。
＜筆者の解答＞
