東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の1994年の問題を取り上げます。
第1問
直線によってできる領域に正方形の頂点が何個入るかについて考える問題です。
(1)は、図を描けばある意味明らかでしょう。(0,0)と(1,1)の両方を含もうとすると、残りの2点のどっちかが必ず含まれてしまうことを証明します。
(2) (1,1)しか含まないようなa,b,dの条件を考えます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の問題です。
(1) ケーリーハミルトンの定理を使ってA^2を計算し、AがEの定数倍になるか否かで場合分けして調べましょう。
(2) (1)と問題文の条件から、a,b,c,dを確定させます。
(3)y=mxをAによって移動させてみましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
螺旋の面積を求める問題です。
(1) Qの座標は、OQの長さ×OPベクトルで求まります。OQの長さは、速さが1/2πとなることから計算できます。
(2)Qの座標をθで微分してdy/dxを求めましょう。
(3) S(θ2)-S(θ1)を図に描いてみると、２つの扇形の面積でサンドイッチで切ることが分かります。
(4) (3)の式ではさみうちの定理を使います。
＜筆者の解答＞
第4問
(1)
(ア)については、和積公式を利用して足し算に分解しましょう。mとnが等しいか否かで場合分けが発生します。
(イ)については、部分積分です。
(2) (1)を使ってIを計算し、平方完成しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
（問題文に上面、下面についての記述がないので、ちと欠陥のような気もしますが）
(1)白の面を持っている確率と、白と黒の両面を持っている確率を考えればよいでしょう。
(2)上面が白の場合、黒の場合にそれぞれ固定して考えればよいです。
＜筆者の解答＞
