東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の1993年の問題を取り上げます。
第1問
2次関数の値の集合についての問題です。
(1)は、単純に計算するだけですが、これが(2)のヒントになります。
(2) (1)の値が負の定数になることがポイントです。これにより、f(p-1), f(p), f(p+1)の値の組み合わせを絞っていきます。
(3) f(p)=p+2, f(p+1)=p, f(p-1)=p-2という条件から、b,cをpで表現することができます。
ここで、c>0かつpが整数という条件から、pの値が確定します。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換についての問題です。
(1) 直線OA, BCの交点の座標を直接計算すればよいでしょう。
(2)問題文の条件から、△PQRの配置が分かるので、仮にPの移動元がB,Cとすると矛盾が発生することを言いましょう。
(3) Q, Rの座標も確定するので、Xが求まります。
＜筆者の解答＞
第3問
積分を使った関数の問題です。
(1)この手の積分は、tをtanで置換するのが定石です。
(2) I'(x)を計算して増減を調べます。
＜筆者の解答＞
第4問
(筆者注：誤 -t^2/2 正-t/2)
パラメータ表示された曲線についての問題です。
yの関数表示が、画像のままだと(1)がどうしても解けなかったので、おそらく上のような誤植だったのだと思います。事実、この訂正により全てスッキリ解けました。
(1) y=0となるtを求めることになります。（画像のままだとこれがうまくいかず詰んでしまうのです。。）
(2)uをaで微分して増減を調べます。
(3)x,yをtで微分することで速度ベクトルが求まります。
＜筆者の解答＞
第5問
ビンゴゲームもどきのゲームを題材にした、確率の問題です。
(1)最初に引く数字を何かしら固定して考えると、見通しが良いでしょう。最初に引く数字が何であっても議論の中身は同じです。
(2)Kiが起こってかつAが起こらない確率を新たに計算しておくと、公式通りの期待値計算です。
＜筆者の解答＞
