私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2010年です。
第1問
円の中心の軌跡と半径の取りうる値を考える問題です。
(1) Pが線分ABの垂直二等分線上にあることに注意してPの動く範囲を求めましょう。
(2) (1)で半径の式は求めてあるので、平方完成で最小値を求めてあげます。
＜筆者の解答＞
第2問
yの正負によって行列が変化する1次変換の問題です。
(1)(2)(3) ルールに従って順番に計算しましょう。
(4) (3)をヒントにしてx1, y1の正負によって計9通りの場合分けを虱潰しに行います。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値付きの指数関数と直線との交点に関する問題です。
(1)グラフを描けばわかりますが、bと1の大小関係で場合分けするとよいでしょう。
(2) g(a)はaの値によって形状が変化し、またpの正負によっても形状が変化しますので、１つ１つ調べる必要があります。
＜筆者の解答＞
第4問
線分を回転してできる曲面について、体積と断面積を求める問題です。
(1)線分PQのx=rでの点と、x軸との距離を調べる必要があります。ベクトルの知識を駆使して求めてみましょう。
(2) (1)の検討からSの式を求めることができます。そこでy=0とすればxz平面による断面の形状が分かります。
(3) (2)の面積を計算する過程で、与式の積分が登場します。
この形の積分が出てきたときにt=(e^s - e^-s)/2と変換するのは定番です。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題で、(3)が難しいです。
(1)pnの一般的な式がΣを使って表現できるので、そこにn=2,3を代入して計算します。
(2) (1)の結果を使って3次不等式を解きましょう。
(3)は初手の発想が難しいでしょう。
(1)で計算したpnの一般式から直接計算できるかと思いきや、Σの計算で詰まってしまいます。よって、確率の問題設定に立ち返り、pn+1とpnの間の関係性を考えることにします。
2n回投げた時点で表が何回出ているかによって、あと2回のうち何回表が出れば「2n+2回投げた時点で表がn+2回以上出ている」が実現できるかを考えてみましょう。
2n回投げた時点での表の回数が、
・n+2以上
・ちょうどn+1
・ちょうどn
・n-1以下
の4パターンで場合分けできます。
(4) (3)で求めたPn+1 -Pnの正負が切り替わるポイントを探しましょう。
＜筆者の解答＞
