このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
7回目の今回は2016年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
小問集合です。
(1)確率の問題です。
玉の色の並び方の変化を調べることに尽きます。場合によっては変化をしないパターンがあることに注意です。
(2)複素数の問題です。
与式の2乗を素直に計算していくことで、三角関数の合成に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第2問
サイクロイドの派生に関する曲線の問題です。
今回考える軌跡は、通常のサイクロイド（円周上の点の軌跡）ではなく円の中の点の軌跡ですが、考え方は全く一緒です。
(1)円板の回転角θを使ってPの座標が書け、弧の長さの情報からθとtの関係も求まります。
増減についてはtで微分すればよいですが、周期性があることに注意します。
(2)法線の傾きは-dx/dyで計算できて、比較的シンプルにlの式が求まります。その情報を使えばMの座標、Qの座標が計算できます。
(3) (2)の結果からlとC1, C2の交点x座標がそれぞれ3π+1, 3π-1とかけることに注意して、積分を置換積分で計算していきます。計算は上記に気付かずにやると結構煩雑になります（気付いてもそこそこ大変です）。
＜筆者の解答＞
第3問
1次不定方程式の解に関する問題です。
(1)解の一つとして(x,y)=(1, (a-1)/2 )がすぐに見つかります。この解をベースに一般解を構築すればOKです。
(2)条件は要するに「x1~xnは全部相異なる」という意味なので、一例として(xk, yk)=(1+2k, (a-1)/2+ak)と書くことができます。本当はいくらでも番号を飛ばして定義できるので、あくまで「一例」であることに注意です。
この(xk, yk)に対して極限を計算すると、最終的に1/nΣ1/(2k+1)の極限を知る必要が出てくるので、面積の大小を利用して不等式評価ではさみうちに帰着させます（結果0に収束することが分かります）。
ここで気になるのが、他の(xk, yk)の決め方についても極限が同じ結果になるのかという点ですが、結論から言うと(xk, yk)の決め方に関係なく極限は同じ値になります。
何故なら、どんな風に定義しても、最終的に知りたい極限の部分は1/nΣ1/(2k+1)以下になるので、結局0に収束することになるからです。
＜筆者の解答＞
第4問
ベクトルを使った正四面体の問題です。
まずはAQベクトルをAB, ACの式で表現することが第一歩です。直線GP上の点はAB, AC, ADの3つのベクトルを使って表現できますが、平面ABC上にあることからADの係数が0になります。
この下で、RP⊥RQとなるように比を定めてあげます。内積=0でいいですね。
＜筆者の解答＞
