東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の1995年の問題を取り上げます。
第1問
2つの円に接する円の中心の軌跡を求める問題です。
(1)「中心間距離=半径の和」が接する条件なので、この条件を処理していきます。ここで、円がx軸の上側にあるという条件を忘れずに考えましょう。
(2) (1)の軌跡と、直線y=√3xの交点を考えればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
4乗のΣの公式を導出する問題です。
(1) Sk(n)のままだと扱い辛いので、Sk(n)を和の形に分解して代入してみましょう。
(2)S0(n)~S3(n)をすべて代入してひたすら計算です。ここでは、S3(n) = [S1(n)]^2を既知のものとしました。
＜筆者の解答＞
第3問
逆関数の面積を求める問題です。
(1)Ｃはy=e^xと書き換えたほうが扱いやすいと思います。これを使って法線の式を出しQの座標を求めましょう。
(2) (1)の式はy=の式に直せない形をしているので、直接∫ydxを計算するのは不可能です。ここでは、図形的に考えて、長方形- ∫xdyを計算してみましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
確率の問題です。
(1)(2)はセットで考えます。条件から各点間の推移確率が分かるので、漸化式を立てることができます。これを解いてしまえばよいでしょう。
(3)dn =1-an-bn-cnで求まるので、容易に極限が求まります。ここで出てくる答えの1は、考えてみれば当然ですね。いずれはDに張り付いて動かなくなりますから。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
格子点３つからなる三角形の各辺が整数となる条件を考える問題です。
A,B,Cの各座標を文字で置いてしまえば、三平方の定理を使ってa^2+b^2+c^2の偶奇が簡単に分かります。
そして、a+b+cの偶奇とa^2+b^2+c^2の偶奇は一致します。
＜筆者の解答＞
