東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1995年の問題を取り上げます。
第1問
1次変換の問題です。意外と面倒な問題です。
(1)楕円Aから楕円Bに移るので、楕円A上のすべての点が楕円B上に移る条件を考えます。言い換えれば、A上の点を(2cosΦ, sinΦ)とパラメータ表示したときに、全てのΦについて、この点の移動先がB上にある条件を考えます。よって、Φの恒等式を考えることになります。
恒等式を考えるとき、普通は係数比較をしますが、今回はそれではうまくいかないので、特別なΦの値を入れて検討します。
ここまで検討すると、fの一般形が求まります。
(2)cosの値を訊かれているので、内積を考えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式が恒等的になりたつ条件を求める問題です。
x=0を代入すればc=0はすぐに分かりますので、これを使うと、2次不等式の問題を考えることに帰着します。
＜筆者の解答＞
第3問
対数関数の面積を考える問題です。
(1)問題文の条件から、まずはaとx0の満たす関係式を求めましょう。そのもとで、S(a)を計算するわけですが、先の関係式を使うと無事x0を消去できます。
(2)微分して増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
曲線状で正三角形を転がす問題です。これは難問です。
正三角形を少しだけ転がしたときの曲線との接点と、各頂点の移動先を丹念に追っていく必要があります。
曲線の接線の傾き、60°回転、滑らず転がる条件、図形的な考察とあらゆる要素を総動員して考えていきましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
2本ずつ枝分かれする通信網を考察する確率の問題です。
(1)Tn+1を考える際に、下にぶら下がっているTnを考えてみましょう。
もしこのTnが断線していればNG, Tnが生きていても上流が断線していればNGと考えることができます。これを使って漸化式を立てましょう。
(2)1-Pn+1を計算し、無理やり1-pnを出してあげましょう。
(3)p>1/2のとき、(2)の公比2(1-p)が0以上1未満となるので、はさみうちの定理が使えます。
＜筆者の解答＞
