私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。今回は2004年の問題です。
第1問
小問集合です。
(1)三角関数の最大最小、曲線の長さを求める問題です。
x+yを微分すればよいですが、導関数の正負を気にしているので合成などを駆使してできるだけ積の形にすることを意識しましょう。長さについては公式通り計算すればよいのですが、ルートを外すときに絶対値をつけるのを忘れがちなので注意です。
(2)多項式のΣに関する問題です。前半と後半では独立した設問になっています。
前半：（け）まで
r次式のΣがr+1次式になることに注意して次数と係数の比較を行いましょう。g(x)は1次式なのでg(x)=cx+dとして恒等式を解きます。
後半：（さ）まで
前半と同じようにh(x)の次数を調べて恒等式を解きます。
＜筆者の解答＞
第2問
複雑な設定の確率の問題です。
(1)(2)ともに、例え面倒でも袋が空になるまでの推移を丁寧に調べることが肝要になります。
(1)
(ⅰ) 推移を考えると 「赤黒＋赤白」→「赤黒+白黒」→「赤＋白」のように変化すればよいので、各状態で何回足踏みするかで確率を調べましょう。
(ⅱ)空になる直前の状態は、「赤＋赤」「黒＋黒」の2種類しかないので、n-1回目に「赤＋赤」となる確率をan-1, 「黒＋黒」となる確率をbn-1としてそれぞれの確率を計算します。
(2)これも推移図を描いて各状態で何回足踏みするかで確率を計算し、足し上げます。
＜筆者の解答＞
第3問
空間内の直線を回転してできる曲面に関する問題です。
(1) l上の点Rは、OR=(1-r)OP+rOQ = (1-r, r, 1-2r) = (x,y,z)とかけるのでrを消去しましょう。
(2)Sを平面z=tで切った断面積を考えます。先に、直線lをz=tで切ってできる点を考えて、それをz軸の周りに回転すればよいでしょう。
(3)Sと平面αの交線の正射影を考える設問です。(2)でSの式は求まっているのでαの式も同じように調べて連立すれば交線の式が求まります。交線上の点(X,Y,Z)について(X,Y,0)の軌跡が正射影となります。計算するとkの値次第で、楕円、双曲線、2本の直線に大別できます。
＜筆者の解答＞
第4問
三角形を作らない対角線の個数を数える問題ですが、すみません。。。
筆者の実力では手も足も出ませんでした。。。。解けたら改めて更新します。
＜筆者の解答＞
