私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。今回は2003年の問題です。
第1問
医学部の第1問にしては珍しく、小問集合ではありません。
焦点が一致する楕円と双曲線が直交することを証明する問題、および極限の計算問題です。
(1)焦点の座標からa,cをb,dでそれぞれ表現できるので、C1, C2を連立して(u,v)を求めましょう。微分を使ってPにおけるC1, C2の接線の傾きをそれぞれ計算して掛け算します。
(2)Pが円周上にある時のbの極限を計算する問題です。問題文に明記されていませんが、Pの中心は原点と考えて解きました。このとき、u=rcosθ, v=rsinθと書けるので、(1)の結果を使ってdを消去することでbをrとθだけの式で書けます。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
(1)一回後は、2個ともがx=0に移動する以外は2個とも生き残ります。
(2)2回分の2個の玉の位置を調べ上げることで計算します。以後、最初にx=-1にいる玉Aが座標aにいて、最初にx=1にいる玉Bが座標bにいる状況を(a,b)と書くことにします。
(3)一個も玉が除去されないように玉を動かし続けると、偶数回後は(-1,1), 奇数回後は(0,2), (-2,0), (-2,2)のどれかになります。これにより偶奇の場合分けが発生します。
(4) (3)の結果を使うとn回目に初めて2個の玉が同じ座標に達する確率が求まります。このとき、(-2,2)からは同じ点に到達できないことに注意します。上記が求まれば、Σ計算によって、n回以内に2個の玉が同じ座標に達する確率が求まります。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値付きの極方程式を考える問題です。
(1)まずは極方程式をデカルト座標に直すと、x=rcosθ, y=rsinθとなるのでx,yをθで微分して増減を調べるのですが、θの値によって場合分けして絶対値を外さないといけないのでかなり面倒です。
(2) dy/dxをtanθの式で表してdy/dx=1を解きます。
(3) rの最大値は1なので、そうなるθは簡単に求まります。
(4) (1)でx,yの増減を調べているので、それを使ってグラフを描きます（四葉のクローバーのようなグラフになります）。y= -x+ (3+√3)/4のグラフは別枠で考えます。
(5) 曲線とy= -x+ (3+√3)/4の交点は実はθ=π/6, π/3に相当する点になっています。これを利用して面積を計算します。図形的な考察を使って楽に面積を計算しましょう（といってもかなり大変な積分計算ですが）。
＜筆者の解答＞
第4問
折れ線の長さに関する問題です。(1)を必ず得点し、(2)以降は捨ててもしょうがないかなという難易度です。筆者自身、(2)の（お）で手が止まってしまいました。。
(1)折れ線の長さを最小にするときは、「対称な点を作って直線で繋ぐ」が基本です。この場合は、Aのx軸対称な点A' (0,-a)を考えてCが直線BA'上にあるように設定すればよいわけです。
(2)以降は難問です。折れ線の長さが最小になるように次々に点を作っていくわけです。
(1)と同じように直線対称な点を作って直線で繋いでいくのですが、kの偶奇によって大きく状況が違うので場合分けが必要で、それぞれ相似など図形の知識を総動員しないとPkPk+1が中々求まりません。αに相当する角度が負になった時に、はじめてPk-1とPk+1の位置関係が逆転します。
このようにして(お)までは何とかなったのですが、(か）を計算しようと思ったときに分母をうまくΣ計算できる形に部分分数分解できず、手が止まってしまいました。。
(3)以降は(か)が求まっていないと無理なので、万事休す。
後日、解けたら更新します。
＜筆者の解答＞
