私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。今回は2002年の問題です。
第1問
小問集合です。
(1)積分を使った漸化式の問題です。（あ）については教科書レベルの積分です。次に（あ）の知識を使って変数変換してan+1の積分を計算しきりましょう。すると、よく見るタイプの漸化式になります。
(2)極方程式に関する問題です。与式にx=rcosθ、y=rsinθを代入すると、rをθの式で書けます。それをつかうとx+yをθの式で書くことができるので、θで微分して増減を調べます。
＜筆者の解答＞
第2問
複雑なルール設定の確率の問題です。
(1) ルールに注意して、2回分の状態の変化を図に起こしましょう。
(2) 粒子が2個あって、「対角線上にある確率=rn」、「同一辺上にある確率=sn」として各状態の推移を図にし、漸化式を立てて解くことを考えます。偶奇による場合分けが発生しかなり計算が長いです。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線と直線で挟まれた領域にある2点を使って3角形の面積を最大化する問題です。
(1)だけで実質終了な問題（(2)(3)は(1)を解く過程で勝手に出てきますので）なのですが、場合分けが非常に煩雑で、きちっと論述することも難しい難問です。
※筆者自身、3時間以上かけてようやく答案を作れた次第です。。
まず、これは自明としてよいとは良いと思いますが、P,Qは両方Dの境界上にないといけないです。この前提で、P,Qが直線部分と放物線部分のどちらにあるのかで場合分けして調べ上げることになります。
一番簡単なのは、2点ともにy=1上にある場合です。このときは高さが常に一定なので、底辺を最大にすればよいだけです。
次が難所で、片方がy=1上にいて、もう一方が放物線上にいるときです。このとき、△APQは、2つの未知数とaを使った絶対値付きの式で書かれます。2変数関数の最大化だけでも難しいのに、さらに絶対値までついてて眩暈がしそうです。。
とはいっても取っ掛かりはあります。P (p,1), Q(q, q^2)としたとき、△APQの式はpについては1次式、qについては2次式になっています。
予選決勝法の考えで、qを固定して先にpを動かしてしまいましょう。絶対値がついているので、p=-1, 1の場合の両方が最大値になりえます。その後にqを動かします。
qの2次式なので軸の位置とかで場合分けする必要がありますが、楽をするために、最大値になりえる候補をリストアップして、最後にそれらを比較して最大値を決めるという方針で行きます。
最大値になりえる候補は、端点(q=-1,1)か放物線の頂点の高々3つだけです。
最後に考えるのが、P,Qの両方が放物線上にある時です。これらはよく考えると2個目の場合に帰着させることができます。高さと底辺の両方を大きくしようとすると、いずれはy=1にぶつかってしまうからです。これをしっかり論述するのは大変ですが。。。
ここまで考えれば(2)(3)の答えはすでに出ているも同然です。(3)の特徴については、思いついたものを書けばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
整数問題です。誘導に従って解いていきます。
(1) ルールに従って計算するだけです。
(2)背理法で証明します。a=b-cあるいはa=2bとしてしまうとpが素数でなくなってしまいます。
(3) (1)と同じように考えると、(ⅱ), (ⅲ)の場合も新しくできる自然数の組(A,B,C)は(Q)を満たすことが分かります。このとき、(A, B, C)=(a,b,c)となるa,b,cの条件を求めます。
(4) (a,b,c)は2回操作すると必ず元に戻ることが実験すると分かります。(a,b,c)が(3)で求めたもの以外の時は、１つの(a,b,c)に対して、(A, B, C)が必ずペアで存在することが分かります。よって(3)のものと合わせて、組が奇数個あることが分かります。
(5) b=cとなる組が必ず存在することが言えればOKです。対称性から(a,b,c)が(Q)を満たすなら、(a,c,b)も(Q)を満たします。もしつねにb≠cとなる解しかなければ(Q)の解が偶数個あることになりますが、これは(4)と矛盾します。
＜筆者の解答＞
