文系数学の最難関、一橋大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
1次変換の問題です。
(1)fを表す行列を文字で置いて、y=-x+3とy=3x-3をそれぞれ移動させて、条件に合うように成分を決めていきましょう。
(2) y=px+qを同じようにfで移して、それが元と一致する条件を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3次方程式の接線についての問題です。
(1) (a,b)を通る接線がx=tで接する条件を考えたとき、そんなtがちょうど2つある条件を考えましょう。
(2) (1)から2通りの答えが出てくるので、それぞれに対して接線の傾きを調べましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線上の三角形に関する問題です。
(1)辺ABを底辺とみなしたときに、PがABから最も離れていればよいので、Pでの接線と直線ABが平行の時面積最大になります。
(2)内積を使ってcos∠APBの最大値を考えます。cos∠APBの式は一見するとかなり複雑で手が負えない形をしていますが、分子を無理やり1にしてあげると、驚くほどシンプルになります！！
＜筆者の解答＞
第4問
積分を使った関数の漸化式についての問題です。
(1) 数学的帰納法を使って証明しましょう。
(2) (1)で得られたan, bnの漸化式を解きます。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
番号は一般にn-a, n-bと書けるので、両者の和がnで割って余りがkになるのは、
a+b=n-kあるいはa+b = 2n -kとなる時です。
このようになるa,bの組み合わせを数えましょう。nとkのそれぞれの偶奇による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
