このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
3回目の今回は2017年になります。
第1問
放物線の接線が円周を2等分する条件を考える問題です。
(1) Dの頂点の座標をa,bで表現すればお終いです。
(2)接線が円周を2等分する条件は、接線が直径となることなので、今回の場合は接線が原点を通ることになります。
(3) (2)と同じようにx=tでの接線を考えると、t^2 = θの式 が求まります。θを固定したとき対応するtの個数は2,1,0個のいずれかになるので、tの個数が1個だけになるθの条件を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
積分関数の最小値を考える問題です。
F'(x)を求めて、その符号を調べる作業に終始します。
＜筆者の解答＞
第3問
三角関数の最大最小を考える問題です。
(1) xを2乗することでsinθcosθをxの式で表すことができます。
(2) (1)の結果を微分するのですが、xの値の範囲に注意するのと、細かい大小関係の見極めが必要になります。
＜筆者の解答＞
第4問
点の移動に関する確率の問題です。
Mの移動の仕方を観察すると、頂点をA, BとDとE, CとFとH, Gの4グループに分けることができると気が付きます。そこに着目して確率漸化式を立てていきます。
(1) 漸化式を繰り返し使えば求まります。このとき、時刻nにAにいる確率anは奇数の時は0になることが分かります。
(2) 漸化式をnの偶奇で場合分けして求めていきます。
(3) Mが8回かけて全ての頂点を巡ってAに戻ってくる確率を計算する必要があります。
全ての頂点を巡る最低手数が7回なので、各頂点を一回ずつ通ることになります。そこに着目して、経路の個数を調べていきます。
＜筆者の解答＞
第5問
1次不定方程式の整数解の個数を数える問題です。
(1) (2)
2x+2yが偶数なので、zとnの偶奇は必ず一致しzはn以下になります。これを利用して、zを固定したときのx,yの個数を数えるとよいでしょう。ということでnの偶奇による場合分けが発生します。
(3) (2)の結果をΣ計算してあげればOKです。ここでもnの偶奇による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第6問
ベクトルを処理する問題です。
(1)αの式はすぐに立つので、これを利用してD,Eの座標を求めることに終始します。例えばDの場合は、Dはα上にある＋BDとOAが平行である、の2条件を使うことで確定できます。
(2) (1)の結果を使ってcosθを計算すると、最終的に-bcだけの式になります。1/5+b^2+c^2=1のときの-bcの取りうる値を確かめる必要がありますが、それは円と双曲線とが交わる条件として処理できます。
＜筆者の解答＞
