文系数学の最難関、一橋大学の1992年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
(1)ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求めましょう。
(2) N=(n^2 +2)/(2n+1)が整数になる条件を求めます。Nは分数式になっているので、割り算を実行して分子の次数を下げていきましょう。すると、2n+1が分子の約数にならないといけません。
＜筆者の解答＞
第2問
群数列の問題です。
群数列は、k個目のグループの最初の項と最後の項に注目して考えていきます。
(1)k個目のグループの最初の項が何になるかを考えましょう。
(2)最初の方で実験してみると、k個目のグループの最初の項が予想できるので、それを帰納法で証明しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数の接線に関する問題です。
P( p, ap^3 -ap), Q(q, aq^3 -aq)とおいて、接線の傾きとPQの傾きが直交する条件を考えます。
進めていくと、pの4次式方程式ができるので、それが実数解を持つ条件を求める問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
第4問
関数の最大最小、1次変換を考える問題です。
(1) k=x+ay とおいて、直線k=x+ayと円が交点を持つ条件を求めることになります。
(2) 円上の点を(1+cosθ, sinθ)として、円を移した図形を考えます。行列に逆行列があるか否かで状況が変わるので場合分けをして考えましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
２つの球について考える問題です。
(イ）を利用するとS, S'の方程式のおよその形が作れて、（ア）を使えば、S, S'の中心を半径とcだけで表現できます。
あとは、(ウ)を使って半径を消去すればよいです。
＜筆者の解答＞
