文系数学の最難関、一橋大学の1993年の問題を取り上げます。
第1問
円にまつわる辺の長さについての問題です。
(1) P(conθ, sinθ), B(conβ, sinβ), C(conγ, sinγ) とおいて、PA^2+PB^2+PC^2がθの恒等式となるようにβ, γを決めましょう。
(2) PA+PB+PCをθの式で表現して考えます。対称性から0≦θ≦2/3πで考えれば十分です。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換の問題です。
(1) 直線Lについて対称な点は、・中点がLを通る・傾きがLと直交する の２つを満たします。
(2) Bも同じように求まるので、AB+BA=Iとなるように方程式を作りましょう。
aの値によって場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第3問
体積の問題です。
(1) 図を描いて、球がどれだけ容器からはみ出るのかを考えましょう。球によって押しのけられた部分の体積がVです。一応文系範囲の積分で求まります。
(2) (1)の結果がrの3次関数となるので、微分して増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
空間内の正三角形の影についての問題です。
影は、△ABCを平行移動しても変化しないので、Aを原点としても一般性は失いません。
その上で、△ABCの1辺の長さをR, B(p,q,r), C(s,t,u)とおいて方程式を立てましょう。
このとき、B'(p,q,0), C'(s,t,0)と書くことができます。
＜筆者の解答＞
※答案に一部ミスがあるので、補足です。
最後の方程式は複2次型の4次方程式となるので、正確にはR^2=10 →R=√10となります。
第5問
確率の問題です。
a,bのうち、小さいほうの値がkだったときに、もう一方の数の選び方を数えればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
