このシリーズでは、京都府立医科大学の数学の問題を解いていきます。
8回目の今回は2015年です。
第1問
無限級数の導出問題です。今回のセットの中では比較的おとなしい問題なので、簡単ではないですが、この問題だけでも完答したいところです。
(1)素直にfn'(x)を計算すればよいです。
(2) (1)の結果を使うと、部分積分で積分を計算できることになります。漸化式を求めるとfn(0)が出現しますが、この値がnの偶奇によって形が変わるので、場合分けが生じます。
(3)一見して数学的帰納法なのかな？と思ってやってみるものの、帰納法ではどうもうまく証明できません。ここは方針を変えます。
Inの式で、中のfn(x)を一旦無視して(1-x)^(n-1)の部分だけ積分してみると、1/nとなります。これと与式を見比べてみると、0≦x≦1で0≦fn(x)≦2になっていればよいことが分かるので、これを証明していきます。
(4) (3)の結果からIn→0 (n→∞)が分かり、nが奇数の場合のInの漸化式を使うことで、I1が求める無限級数の値になることが分かります。
この結果は、y=log(1+x)のテイラー展開を使っても導出することができます。
＜筆者の解答＞
第2問
円錐とそれに内接する球で挟まれた領域について考える問題です。
(1)Rは展開図で、側面の円弧の長さ=底面の円周、から求められます。rについては、Cの頂点と底面中心を通る平面で切ることで求めることができます。
(2) Aは、円錐から球の一部を除いたものになるので、それぞれの体積を計算することにします。(1)で考えた断面や積分を使っていきますが、かなり計算が煩雑です。
(3) Aの側面積は、Cの側面積から相似の関係で簡単に計算できます。こうしてV/Sを計算するとルートが入っているので、全体を2乗してから微分して増減を調べます。これまた結構計算が煩雑です。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値の絡んだ関数のグラフと、それに含まれる三角形の面積を考える問題です。
(1)まずはg(x)を分かりやすくしないことには始まりません。|x|の値で場合分けして絶対値を外していきましょう。そうしていくと、f(x)はかなりシンプルな式になります。
(2)(3)
A(a, f(a) ), B(b,0), C(c,0) (b<c)とおいて、題意を満たす三角形の面積を考えていきます。
高さはAのy座標f(a)で決まりなので、Cがどこまで右に行けるか、Bがどこまで左に行けるかを、Aの位置で場合分けして調べていきます。対称性からa≧0だけ考えればOKです。
cの上限は直線ACがy=1/xと接するときと分かりやすいですが、bの下限はAの位置によって状況が色々変わってきます。
やること自体は単純なのですが、とにかく場合分けの数が多いため時間がかかりますね。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題で、試験場では(1)だけ解いて捨てるのが得策だったと思います。
(1) 1から10までの数の合計は55で、奇数です。なので、もし選ばれた数の合計が偶数になるなら、余った2枚の合計は奇数になるはずで、そのときその2枚の偶奇は異なっています。
つまり、この問題は「10枚から2枚を引いたとき、偶奇が異なっている確率」と言い換えることができます。
(2)~(4)は捨て問だと思います。
立方体の各頂点の「偶奇」の配列をMECEに（過不足なく）数えた上で、条件に見合うカードの選ばれ方を数えていくという流れですが、立方体は対称性が非常に高い立体なので、配列を調べるときに過不足が発生しやすく、MECEに数えること自体が容易ではありません。（答案では一応MECEになっているはずですが、見落としや重複がひょっとしたらあるかもしれません。
(2) 偶数の面が3つになるのは、偶数のカードも奇数のカードも両方奇数枚引かれる場合です。このとき8つの頂点の合計が奇数になり、ちょうど(1)と逆の状況になります。
(3)(4)
各場合について、場合の数を調べていきますが、その基本は
（偶数にするパターンが何通りあるか？）×（偶数4枚の選び方）×(奇数4枚の選び方）となります。
この「選び方」についてですが、今回の場合は順番まで考慮しないといけないので、CではなくPを使うことに要注意です（Pの計算、かなり久々にやった気がします）。
＜筆者の解答＞
