旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1993年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1993年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
三角関数の最大最小を考える問題です。
f(x)は、cosxの2次関数になるので、-1≦cosx≦1におけるf(x)の最大値が6以下、最小値が-6以上になるa,bの条件を考えましょう。aの値による場合分けが発生します。
<筆者の回答>
第2問
四角錐における平行四辺形に関する問題です。
PA, PB, PC, PDベクトルを基準にして考えると見通しが良いでしょう。
(1) IJベクトルとLKベクトルが等しいことが言えれば平行四辺形だと言えます。EF, HGについても同様です。それぞれのベクトルをPA, PB, PC, PDベクトルで書けば、EFがIJの定数倍になっていることが分かりますので、他の辺についても同様に調べましょう。
(2) 中点連結定理を使うと、平行四辺形IJKLの面積が四角形ABCDの半分になっていることが分かり、(1)で求めた相似比から、平行四辺形IJKLの面積と平行四辺形EFGHの面積
の比も分かります。
<筆者の回答>
第3問
理系第3問との共通問題です。理系でも難問だったので、文系では捨て問同然です。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
楕円の周に関する一次変換に関する問題です。
E1上の点は(2cosθ, sinθ)と書けるので、fを表す行列を文字で置いてこの点を移して、それが任意の0≦θ≦π/2について楕円上にある条件を求めていきます。θに関する恒等式の処理になるので、θ=0, π/4, π/2 を代入して必要条件を求めて、それが十分条件になっていることを示します。
あとは、この軌跡がE2と一致するように条件を絞っていきます。
<筆者の回答>
第5問
理系第5問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
