旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東京大学の1992年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東大理系数学 -1992年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
2次方程式の解に関する問題です。
先に「2次方程式でなくなる」p=0の場合を先に処理してしまいましょう。
p≠0のとき、解が実数になる時虚数になる時で場合分けしようとすると、判別式を計算する必要がありますが、今回の方程式の場合、判別式がかなり複雑で先に進まなくなってしまいます。困った。。。
ここで、改めて考え直してみると、2次の係数が正の方程式の解が、負の解を2つ持つ条件は「（判別式が0以上で）1次の係数が正、定数項が負」です。実部が負になる虚数解を持つ条件は、「（判別式が負で）1次の係数が正」です。定数項が正の時しか判別式は負になりようがないので、実部が負になる条件は「（判別式によらず）1次の係数が正、定数項が負」になります。
つまり、今回の問題の問題では、厄介な判別式についてはすっ飛ばすことができて、1次の係数と定数項の正負だけ気にすればよくなります。
これに気付ければ簡単です。
<筆者の回答>
第2問
利潤を最大化する問題です。
乙の利潤配分B(s)をs,aの式で書くことが第一で、f(s)に乙の出資比率(s-a)/sをかけてあげればOKです。ただし、乙の出資額は0以上なので、a≦sとなることに注意します。
このもとでsについて場合分けをして検討しますが、それぞれについてaの値による場合分けも生じます。結果をまとめると、aの値に応じてB(s)の最大値候補が2つ出てくるので大小比較をしましょう。
<筆者の回答>
第3問
文字列に関する論証問題です。
(1) Xnに含まれる0の個数をαn, 1の個数をβnとして、これらの漸化式を作りましょう。するとフィボナッチ数列の漸化式になることが分かるので、番号ずらしに注意すれば一般項が求まります。
(2) 思いつかないと難しいところです。文字列のルールを見ると、0が連続することはないことが分かります。つまり0の右隣は必ず1になります。よって、Xnに含まれる0の個数に注目してあげればよいです。nが偶数の時は末尾が0なので、01の個数はαn-1に、nが奇数の時は末尾が01なので、01の個数はαnそのものになります。
<筆者の回答>
第4問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
