旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2014年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2014年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
4次方程式が虚数解を持つことを証明する問題です。
「実数解しか持たない」と仮定すると矛盾するという、背理法で攻めるとよいでしょう。4次方程式が2本の2次方程式の積になっているので、その各々の判別式を考えてあげるとよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
3次関数の接線に関する問題です。
(1) x=sにおける接線がPを通るという条件を考えて、sの3次方程式が実数解を1つしか持たないようなtの条件を求めればよいです。3次関数のグラフとy=tのグラフの交点の個数を考えればよいでしょう。
(2)に備えて、実数解それ自体の値の範囲を調べておくとよいでしょう。
(2) Cとlの交点x座標がsの式で書けるので、(1)のグラフからsの範囲を考えて面積を検討します。
<筆者の回答>
第3問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
漸化式の問題です。
(1)特性方程式を解いて解く、基本的な漸化式です。
(2) (1)の結果を代入して常用対数を取って考えればよいです。
このとき、2^〇>10^15 + 1という不等式ができて右辺の1が鬱陶しいですが、2^〇=10^15 + 1 にはなりえないので、2^〇>10^15 と勝手に1を消しても何ら影響がありません。
<筆者の回答>
第5問
確率の問題です。
問題文から、Aが得点をもらえるのはBの目がAの目より小さい時です。これに注意して、Aがa点もらえる確率を計算して、期待値を計算しましょう。
<筆者の回答>
