リーマン予想に至る道のりとして、まずは基本中の基本、素数についておさらいしましょう。
素数とは、「１と自分自身以外で割り切れない正の整数」のことです。100以下の素数は、
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
の25個あります。こうして並べると、全く不規則に出てくることが分かりますね。わかることといえば、
・2以外の偶数は出てこない （2で割り切れるから）
・一の位が5になるのは、5以外にない （5で割り切れるから)
・だから一の位は、原則1,3,7,9だけ
くらいでしょうか。上記のルールにマッチしていて、いかにも素数っぽく見える91なんて数も、
91 = 7 × 13
っていう具合に7で割り切れるので素数ではないです。
素数の大事な性質として、「どんな整数も素数の掛け算で（順番を除いて）一通りに書ける」というものがあります。例えば、
15 = 3 × 5,
98 = 2 × 7 × 7,
314 = 2 × 157,
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
2020 = 2 × 2 × 5 × 101
ていう具合に。こうした素数の掛け算に分解することを「素因数分解」といいます。上の素数のリストに１がないのを不思議に思われた人もいるかもしれません。これは、もし１を素数に含めてしまうと、
15 = 1 × 3 × 5 = 1 × 1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×1 × 3 × 5 みたいに1をいくらでも掛けることができてしまい、「一通り」で表せなくなってしまうからです。このような理由から、１は素数として数えないのが普通です。
さて、ここからが本題。素数って全部で何個あるんでしょうね？（タイトルで思いっきりネタバレしちゃってますが笑）
私自身は、さすがに超デカい数だったら何かしらで割り切れるんじゃね？と素朴に考えておりましたが、大昔にそれはバッサリ否定されておりました。。。
ということで、素数が無数にあることを、古代ギリシャのユークリッドの方法で証明してみましょう。
どう証明するか？無数にあることを直接示すのは大変そうなので、「素数は有限個しかない」と仮定したときにおかしなことになることを言えばよさそうです。いわゆる背理法っていう奴です。
では証明していきます。
まず「素数はp1, p2, …,pnの全部でn個しかない」と仮定します。
（※素数は英語でprime numberなので、よく頭文字のpで表現します）
この仮定の意味することは、「どんな整数もp1, p2, …,pnのどれかで必ず割り切れる」ということです。
このとき、次のような数Nを作ります。
N = p1 × p2 × … × pn + 1
つまりNは、全部の素数を掛け算して1を足した数ということになります。ここで、よく見てください。Nはp1, p2, …,pnのどれで割っても1余る数になっています。
これは明らかに、「どんな整数もp1, p2, …,pnのどれかで必ず割り切れる」という仮定と矛盾しますよね。
よって、仮定が誤りなので、素数は無数に存在する。 (Q.E.D.)
といった具合に証明することができました！
今、人類の知っている最大の素数は、2400万ケタという途方もない巨大な数ですが、上の証明が意味するところは、もっと大きな素数が無限にあるということです。つまり、人類の素数の探求の旅に決して終わりはやってこないということです。
いくらスタンド能力で世界を一巡させても、時間を消し飛ばしても、根源の渦に至ろうとも・・ネタに走りすぎましたかね笑。
ということで、素数が無限にあることはわかりました。しかし、その無限にある素数がどんな規則で現れるかが、皆目見当もつかないわけです。
ということで、次回は素数の規則をどのように見つけようとしていったか、その歴史をたどってみることにします。
