東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2000年の問題を取り上げます。
第1問
直線と放物線で囲まれる領域に関する問題です。
(1)は簡単です。
(2)直線ABを調べると傾きが1になることが分かりますので、面積が最大となるのはPがy=x上にある時です。
(3)直線y=k(x+7/2)とDが交わる時の傾きkの条件を求めることと同じです。
＜筆者の解答＞
第2問
正4n角形の延長線からできる三角形に関する問題です。似た問題が阪大で出題されています。
(1)は、図を丁寧に書いて、図形的に考えるとよいでしょう。
(2) (1)から、鋭角となるkの条件がn+1≦k≦2n-1と分かりますので、
n+1≦k≦2n-1, n+1≦l-k≦2n-1, 2n+1≦l≦3n-1を満たすk,lの個数を求めることが目標になります。（最後の不等式は、図を描いて調べる必要があります）
l-k =Mと固定して個数を数えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
空間図形の問題です。ベクトルが効果を発揮します。
(1)内積の条件を使って処理していきましょう。
(2)PQは2変数の2次式で書けるので、平方完成を使って最小値を考えていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
積分方程式に関する問題です。誘導に従って解いていきます。
(1)A=x/e^xとして、右辺の関数の増減を考えましょう。
(2)部分積分を使って解きます。
(3)B=∫f(t)costdt とおいて、変形していくと、(1)が使えそうな形に持っていけます。あとは、Aにあたる数が(1)の条件を満たすか否かをチェックしましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
3次関数に関する問題です。
(1)与えられた条件を丁寧に処理しましょう。
(2) (1)の結果を不等式に当てはめればよいでしょう。
(3)Sの増減を調べましょう。微分するもよしですが、相加相乗平均の関係を使っても解けます。
＜筆者の解答＞
